无限圆柱及其他乘积空间上 Schrödinger 算子的共振
Resonances for Schrödinger operators on infinite cylinders and other products
AI总结：
本文研究 $\mathbb{R}^d\times\mathbb{S}^1$ 上紧支位势 Schrödinger 算子的高能量共振，证明其可由圆平均位势及 $\mathbb{R}^d$ 上的共振刻画，并给出局域化、预解逼近与 $d=1$ 时的渐近和刚性结果。
摘要：
我们研究无限乘积空间 $X=\mathbb{R}^d\times \mathbb{S}^1$ 上 Schrödinger 算子的共振，其中 $d$ 为奇数，$\mathbb{S}^1$ 是单位圆，且位势 $V\in L^\infty_c(X)$。本文表明，在高能量下，$X=\mathbb{R}^d\times \mathbb{S}^1$ 上 Schrödinger 算子 $-\Delta+V$ 的、靠近连续谱的共振，可由 $X$ 上 $-\Delta+V_0$ 的共振逼近，其中位势 $V_0$ 是将 $V$ 在单位圆上平均得到的。这些共振进而由 $\mathbb{R}^d$ 上一个 Schrödinger 算子位于有界集中的共振给出。如果位势是光滑的，我们得到共振的改进局域化，尤其是在 $\mathbb{R}^d$ 上相应散射预解算子具有简单的一阶极点的情形。在该情形下，我们得到相应高能量共振位置的首阶修正。除了关于共振位置的直接结果外，我们还表明，在远离共振的高能量处，$X$ 上模型算子 $-\Delta+V_0$ 的预解算子逼近 $X$ 上 $-\Delta+V$ 的预解算子。若 $d=1$，在某些情形下这意味着波动方程解存在渐近展开。同样针对特殊情形 $d=1$，我们在所有实值位势中得到了零位势的一种共振刚性类型结果。
英文摘要：
We study the resonances of Schrödinger operators on the infinite product $X=\mathbb{R}^d\times \mathbb{S}^1$, where $d$ is odd, $\mathbb{S}^1$ is the unit circle, and the potential $V\in L^\infty_c(X)$. This paper shows that at high energy, resonances of the Schrödinger operator $-Δ+V$ on $X=\mathbb{R}^d\times \mathbb{S}^1$ which are near the continuous spectrum are approximated by the resonances of $-Δ+V_0$ on $X$, where the potential $V_0$ given by averaging $V$ over the unit circle. These resonances are, in turn, given in terms of the resonances of a Schrödinger operator on $\mathbb{R}^d$ which lie in a bounded set. If the potential is smooth, we obtain improved localization of the resonances, particularly in the case of simple, rank one poles of the corresponding scattering resolvent on $\mathbb{R}^d$. In that case, we obtain the leading order correction for the location of the corresponding high energy resonances. In addition to direct results about the location of resonances, we show that at high energies away from the resonances, the resolvent of the model operator $-Δ+V_0$ on $X$ approximates that of $-Δ+V$ on $X$. If $d=1$, in certain cases this implies the existence of an asymptotic expansion of solutions of the wave equation. Again for the special case of $d=1$, we obtain a resonant rigidity type result for the zero potential among all real-valued potentials.
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