混合对薄膜外延生长的抑制
Suppression of epitaxial thin film growth by mixing
AI总结：
本文研究二维环面上模拟薄膜外延生长的四阶抛物方程，证明任意L2初值下温和解局部存在，并揭示足够强平流混合可保证全局存在且指数收敛到均匀态，而无平流时某些初值会导致有限时间爆破。
摘要：
我们考虑在二维环面上、在 $2<p<3$ 情形下，带有梯度非线性项且分别存在和不存在不可压缩向量场平流的如下四阶抛物方程：\begin{equation*} \partial_t u + (-Δ)^2 u = -\nabla\cdot(|\nabla u|^{p-2}\nabla u). \end{equation*} 对此类方程的研究源于模拟薄膜外延生长的数学模型。我们证明：在两种情形下，对任意位于 $L^2$ 中的初值，温和解均局部存在。我们的主要结果是：在存在平流的情形下，如果施加的平流具有足够强的混合性，则可以证明解全局存在，并且解将指数收敛到均匀混合态；而在没有平流的情形下，存在 $H^2\cap W^{1,\infty}$ 中的初值，使得解在有限时间内爆破。
英文摘要：
We consider following fourth-order parabolic equation with gradient nonlinearity on the two-dimensional torus with and without advection of an incompressible vector field in the case $2<p<3$: \begin{equation*} \partial_t u + (-Δ)^2 u = -\nabla\cdot(|\nabla u|^{p-2}\nabla u). \end{equation*} The study of this form of equations arises from mathematical models that simulate the epitaxial growth of the thin film. We prove the local existence of mild solutions for any initial data lies in $L^2$ in both cases. Our main result is: in the advective case, if the imposed advection is sufficiently mixing, then the global existence of solution can be proved, and the solution will converge exponentially to a homogeneous mixed state. While in the absence of advection, there exist initial data in $H^2\cap W^{1,\infty}$ such that the solution will blow up in finite time.
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