退化 Riemann–Hilbert–Birkhoff 问题、半单性与 WDVV 势的收敛性
Degenerate Riemann-Hilbert-Birkhoff problems, semisimplicity, and convergence of WDVV-potentials
AI总结：
本文用新的解析方法证明含合并 Poincaré 秩 1 非正则奇点的亚纯联络可积形变定理，并据此证明半单形式 Frobenius 流形对应 WDVV 势在无额外驯顺假设下收敛。
摘要：
在本文第一部分，我们对 C. Sabbah 的一个定理给出了新的解析证明；该定理涉及 $\mathbb P^1$ 上亚纯联络的可积形变，其中 Poincaré 秩为 1 的非正则奇点发生合并，并且该结果推广了 B. Malgrange 此前的一项结论。在本文第二部分，作为应用，我们证明：任何具有单位元和 Euler 场的半单形式 Frobenius 流形（在 $\mathbb C$ 上）都是某个 Dubrovin–Frobenius 流形的带点解析芽的完备化。换言之，任何形式幂级数，只要它给出 WDVV 方程的一个拟齐次解，并在原点定义一个半单 Frobenius 代数，实际上就是收敛的，无需进一步的驯顺性假设。
英文摘要：
In the first part of this paper, we give a new analytical proof of a theorem of C. Sabbah on integrable deformations of meromorphic connections on $\mathbb P^1$ with coalescing irregular singularities of Poincaré rank 1, and generalizing a previous result of B. Malgrange. In the second part of this paper, as an application, we prove that any semisimple formal Frobenius manifold (over $\mathbb C$), with unit and Euler field, is the completion of an analytic pointed germ of a Dubrovin-Frobenius manifold. In other words, any formal power series, which provides a quasi-homogenous solution of WDVV equations and defines a semisimple Frobenius algebra at the origin, is actually convergent under no further tameness assumptions.
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