改进的 $G_2$-结构在广义库默尔构造中的估计
Improved Estimates for $G_2$-structures on the Generalised Kummer Construction
AI总结：
本文改进了 $G_2$-结构在广义库默尔构造中的估计，通过另一种证明方法，给出了更精确的 $C^0$ 范数估计，并展示了 Eguchi-Hanson 空间中谐波形式的唯一性。
摘要：
$G_2$-流形 $T^7/Γ$ 的解析性，其中 $Γ$ 是一个适当选择的有限群，允许一个由 Eguchi-Hanson 空间粘合得到的 $1$-参数族 $G_2$-结构，具有小 torsion $φ^t$。Joyce 显示，对于小的 $t$ 值，$φ^t$ 可以扰动为 torsion-free 的 $G_2$-结构 $\tildeφ^t$。通过适应流形几何的范数，我们给出了 $\tildeφ^t$ 存在性的另一种证明。这种证明产生了估计 $\left|\left| \tildeφ^t-φ^t \right|\right|_{C^0} \leq ct^{5/2}$，这比已知的估计 $\left|\left| \tildeφ^t-φ^t \right|\right|_{C^0} \leq ct^{1/2}$ 有所改进。作为证明的一部分，我们证明了 Eguchi-Hanson 空间具有唯一的（除缩放外）衰减谐波形式，这是一个独立感兴趣的结果。
英文摘要：
The resolution of the $G_2$-orbifold $T^7/Γ$, where $Γ$ is a suitably chosen finite group, admits a $1$-parameter family of $G_2$-structures with small torsion $φ^t$, obtained by gluing in Eguchi-Hanson spaces. It was shown by Joyce that $φ^t$ can be perturbed to torsion-free $G_2$-structures $\tildeφ^t$ for small values of $t$. Using norms adapted to the geometry of the manifold we give an alternative proof of the existence of $\tildeφ^t$. This alternative proof produces the estimate $\left|\left| \tildeφ^t-φ^t \right|\right|_{C^0} \leq ct^{5/2}$. This is an improvement over the previously known estimate $\left|\left| \tildeφ^t-φ^t \right|\right|_{C^0} \leq ct^{1/2}$. As part of the proof, we show that Eguchi-Hanson space admits a unique (up to scaling) harmonic form with decay, which is a result of independent interest.
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