全纯辛流形上的拉格朗日纤维化截面与退化扭形形变
Sections of Lagrangian fibrations on holomorphically symplectic manifolds and degenerate twistorial deformations
AI总结：
本文研究了全纯辛流形上拉格朗日纤维化的截面问题，提出了“退化扭形形变”这一复结构形变方法，并证明了通过该方法可构造使给定光滑截面成为全纯截面的新复结构。
摘要：
设 $(M,I, Ω)$ 为配备了全纯拉格朗日纤维化 $π:\\; M \mapsto X$ 的全纯辛流形，$η$ 为 $X$ 上 Hodge 类型为 (1,1)+(2,0) 的闭形式。我们证明 $Ω':=Ω+π^* η$ 对于另一个复结构 $I'$ 仍是全纯辛形式，该复结构由 $Ω'$ 唯一确定。复结构的相应形变被称为“退化扭形形变”。映射 $π$ 关于这一新复结构是全纯的，且 $X$ 和 $π$ 的纤维保持与之前相同的复结构。设 $s$ 为 $π$ 的光滑截面。我们证明存在一个退化扭形形变 $(M,I', Ω')$ 使得 $s$ 为全纯截面。
英文摘要：
Let $(M,I, Ω)$ be a holomorphically symplectic manifold equipped with a holomorphic Lagrangian fibration $π:\; M \mapsto X$, and $η$ a closed form of Hodge type (1,1)+(2,0) on $X$. We prove that $Ω':=Ω+π^* η$ is again a holomorphically symplectic form, for another complex structure $I'$, which is uniquely determined by $Ω'$. The corresponding deformation of complex structures is called "degenerate twistorial deformation". The map $π$ is holomorphic with respect to this new complex structure, and $X$ and the fibers of $π$ retain the same complex structure as before. Let $s$ be a smooth section of of $π$. We prove that there exists a degenerate twistorial deformation $(M,I', Ω')$ such that $s$ is a holomorphic section.
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