Fibre bundle formulation of nonrelativistic quantum mechanics. 0. Preliminary considerations: Quantum mechanics from a geometric-observer's viewpoint
我们提出了一个版本的非相对论性量子力学，其中量子系统的纯态被描述为一个希尔伯特（通常是无限维）纤维丛的时空部分。在那里，进化是通过（一种）在这个束中的平行传输来控制的。讨论了有关观测量的一些问题。导出了状态截面和观测量的运动方程。我们表明，直到一个常数的演化算子（运输）的系数矩阵与所研究的量子系统的哈密顿矩阵相一致。
1998-03-29 gr-qc hep-th math.DG
Addenda and corrections to work done on the path-integral approach to classical mechanics
在本文中，我们继续研究的路径积分制定的经典力学，特别是我们更好地澄清，相对于以前的文件，几何意义的变量进入这个配方。相对于第一篇论文具有相同的标题，我们{ \it纠正}在这里的一组变换的辅助变量$λ_{a}$。我们证明，在这一套新的变换的哈密顿${\widetilde{\cal H}}$，出现在我们的路径积分，是一个确切的标量和相同的拉格朗日。尽管有这种不同的变换，变量$λ_{a}$保持与以前相同的操作意义，但在不同的函数空间上。澄清了这一点，我们然后表明，整个集合的变量（$ϕ, c, λ,\bar c$）的路径积分的空间是余切丛的{ \it reversed-parity}切丛的相空间${\cal M}$的系统，它被指示为$T^{\star}(ΠT{\cal M})$。如果读者对这个奇怪的{ \it格拉斯曼}双丛感到不安，我们在本文中表明，可以建立一个不同的路径积分只由{ \it玻色子}变量。这些结果是$T^{\star}(T^{\star}{\cal M})$的坐标，$T^{\star}(T^{\star}{\cal M})$是相空间的双余切丛。
2000-08-03 hep-th
Classical mechanics of relativistic particle with colour
提出了具有内禀自由度（如同位旋或色）的相对论性点状粒子的经典描述。它是基于定义在主纤维丛上的切丛上的一般形式的拉格朗日量。结果表明，该动力学分裂为用Wong方程描述粒子与规范场相互作用的外动力学和仅通过运动积分描述粒子空间运动的内动力学。建立了相应的哈密顿描述。
2019-10-23 hep-th
Antibrackets and Supersymmetric Mechanics
利用辛流形切丛上构造的奇辛结构，构造了其上任意哈密顿力学的简单超推广，当初始力学定义了某个黎曼度量的Killing向量时，相应的超对称力学可以在其上用偶辛结构重新表述.
1993-07-29 hep-th
Fibre bundle formulation of nonrelativistic quantum mechanics. IV. Mixed states and evolution transport's curvature
提出了一种新的非相对论量子力学系统纤维丛表述。新形式的理论与通常的理论是等价的，但它与理论物理学的现代趋势相协调，并可能在不同的方向上接受新的概括。在它的一个纯态的一些量子系统描述的状态部分（沿路径）的（希尔伯特）纤维丛。它的演化是通过束（类似）薛定谔方程确定的。现在，动力学变量和密度算子通过丛态射（沿着路径）来描述。所提到的量由本工作中导出的一些关系连接。本系列的第四部分主要致力于混合量子态的纤维丛描述。我们表明，传统的密度算子对应于一个独特的密度态射（沿路径），相应的运动方程推导。研究了不同运动图像下混合量子态的束描述。我们计算了演化输运的曲率，证明了它是曲率自由的当且仅当哈密顿算符的值在不同时刻交换。
1999-02-20 hep-th quant-ph
Fibre bundle formulation of relativistic quantum mechanics. II. Covariant approach
提出了相对论量子力学数学基础的纤维丛表述。在现阶段，理论的丛形式与它的常规形式是等价的，但它允许在不同方向上的新类型的推广。在本研究的第二部分，我们考虑相对论性量子力学的丛描述的协变方法。在它的波函数被替换为（状态）部分的适当选择矢量丛在时空的（标准）纤维是空间的波函数。现在量子演化被描述为（总）束空间中态截面的线性输运（通过沿空间\nobreakdash -时间的恒等映射的输运）。发现了相对论性波动方程的（延迟）格林函数与演化算符和输运之间的联系，特别是Dirac方程和Klein-Gordon方程。
2002-03-30 hep-th math-ph math.MP
Fibre bundle formulation of relativistic quantum mechanics. I. Time-dependent approach
提出了相对论性量子力学数学基础的一种新的纤维丛表述。在现阶段，理论的丛形式与它的常规形式是等价的，但它允许在不同方向上的新类型的推广。在本研究的第一部分中，我们考虑相对论性量子力学的束描述的含时或哈密顿方法。在它的波函数被替换为（状态）提升的路径或部分沿路径的适当选择的矢量丛在时空的（标准）纤维是空间的波函数。现在，量子演化被描述为（总）束空间中状态提升/截面的线性传输（通过沿时空中路径的演化传输）。这些输运方程变成相应的相对论波动方程的束形式。
2001-05-12 hep-th math-ph math.MP
Fibre bundle formulation of nonrelativistic quantum mechanics: I. Introduction. The evolution transport
提出了一种新的非相对论量子力学系统纤维丛表述。新形式的理论与通常的理论是等价的，但它与理论物理学的现代趋势相协调，并可能在不同的方向上接受新的概括。在它的一个纯态的一些量子系统描述的状态部分（沿路径）的（希尔伯特）纤维丛。它的演化是通过束（类似于）薛定谔方程确定的。现在，动力学变量和密度算子通过丛态射（沿着路径）来描述。所提到的量由本工作中导出的一些关系连接。本研究的第一部分是介绍量子力学的纤维丛方法所依赖的基本概念。我们表明，纯量子力学状态的演化可以被描述为一个合适的线性运输沿路径，称为演化运输，在所考虑的量子系统的状态的希尔伯特纤维束的状态部分。
1998-10-16 gr-qc hep-th math.DG
Fibre bundle formulation of nonrelativistic quantum mechanics. III. Pictures and integrals of motion
提出了一种新的非相对论量子力学系统纤维丛表述。新形式的理论与通常的理论是等价的，但它与理论物理学的现代趋势相协调，并可能在不同的方向上接受新的概括。在它的一个纯态的一些量子系统描述的状态部分（沿路径）的（希尔伯特）纤维丛。它的演化是通过束（类似）薛定谔方程确定的。现在，动力学变量和密度算子通过丛态射（沿着路径）来描述。所提到的量由本工作中导出的一些关系连接。在本系列的第三部分中，我们将研究传统运动图像的束类似物。特别地，找到了分别对应于状态向量和观测量的状态截面和丛态射。导出了这些量的运动方程。利用所得结果，我们考虑从丛观点有关的运动积分的问题。一个不变的（束）的必要条件和充分条件的动力变量是一个整体的运动。
1998-10-30 gr-qc hep-th quant-ph
Fibre bundle formulation of relativistic quantum mechanics
提出了相对论量子力学数学基础的纤维丛表述。在现阶段，理论的丛形式与它的常规形式是等价的，但它允许在不同方向上的新类型的推广。在丛描述中，波函数被替换为时空上适当选择的矢量丛的（状态）截面（协变方法）或路径提升（等价地：沿着路径的截面）（依赖于时间的方法），其（标准）纤维是波函数的空间。现在，量子演化被描述为（总）束空间中的状态部分/提升的线性传输。这些输运方程变成相应的相对论波动方程的束形式。发现了这些方程的（延迟）格林函数与演化算符和输运之间的联系，特别是Dirac方程和Klein-Gordon方程。
2002-03-30 hep-th math-ph math.MP
Fibre bundle formulation of nonrelativistic quantum mechanics. II. Equations of motion and observables
提出了一种新的非相对论量子力学系统纤维丛表述。新形式的理论与通常的理论是等价的，但它与理论物理学的现代趋势相协调，并可能在不同的方向上接受新的概括。在它的一个纯态的一些量子系统描述的状态部分（沿路径）的（希尔伯特）纤维丛。它的演化是通过束（类似于）薛定谔方程确定的。现在，动力学变量和密度算子通过丛态射（沿着路径）来描述。所提到的量由本工作中导出的一些关系连接。在本研究的第二部分中，我们导出了几种形式的束（模拟）薛定谔方程的状态截面的时间演化。我们证明，直到一个常数的矩阵束哈密顿量，进入束模拟的矩阵形式的传统薛定谔方程，符合矩阵的系数的演化输运。这允许将哈密顿量解释为规范场。在这里，我们也适用于束的方法来描述可观的。它表明，任何观察有对应于一个独特的厄密丛态射（沿路径），反之亦然。
1998-10-21 gr-qc hep-th quant-ph
Projective Quantum Mechanics
我们研究了复杂的，有限维的，紧凑的，经典的相空间C，通过明确地构造希尔伯特空间向量丛C。我们发现这些向量丛分裂为两个全纯向量丛的直和：全纯切丛T（C），加上一个复线丛N（C）。量子态（真空除外）表现为C的切向量。真空态表现为N（C）的纤维状发生器。全纯线丛N（C）由C的Picard群Pic（C）的元素分类.这样，Pic（C）就表现为非等价真空的参数空间。我们的分析是仿照，但不限于，当C是复杂的射影空间的情况下。
2003-04-21 hep-th math-ph math.MP
Fibre bundle formulation of nonrelativistic quantum mechanics (full version)
提出了一种新的非相对论量子力学系统纤维丛表述。新形式的理论与通常的理论是等价的，与理论物理学的现代趋势相协调，并可能在不同的方向上接受新的推广。在它的希尔伯特空间的量子系统（从传统的量子力学）被替换为一个适当的希尔伯特束的状态和一个纯粹的状态的系统被描述的提升路径或部分沿路径在这个束。纯态的演化是通过束（类似于）薛定谔方程确定的。现在，动力学变量和密度算子通过路径的提升或沿着适当丛中的路径的态射来描述。所提到的量由本工作中导出的一些关系连接。
2000-04-09 gr-qc hep-th math-ph
Relational bundle geometric formulation of non-relativistic quantum mechanics
Masaryk University（马萨里克大学）；University of Graz（格拉茨大学）；Mons University（蒙斯大学）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）；Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Section of Torino（意大利国家核物理研究所，都灵分部）
本文提出非相对论多粒子量子力学的束几何表述，通过将波函数视为配置时空上的复值cocyclic张量0-形式，并基于协变导数推导薛定谔方程，同时利用动作函数提供平坦的cocyclic连接1-形式，从而实现一种几何化的量子力学路径积分。
2026-04-14 hep-th math-ph math.MP
Geometric quantization of non-relativistic and relativistic Hamiltonian mechanics
我们证明了位形空间Q上的非相对论性和相对论性力学系统可以看作是在同一余切丛T^*Q的不同子丛上具有零哈密顿量的保守Dirac约束系统。这种余切丛在垂直极化下的几何量子化导致非相对论和相对论哈密顿力学的相容的协变量子化。
2000-12-14 hep-th math-ph math.MP
Quantum Mechanics on Manifolds
提出了流形$ M $上的量子力学的定义，并给出了实现该定义的方法.该方案适用于齐次空间$ M = G / H $。该实现是变换群$ G $在向量值函数空间上的酉表示。当$ H \ne \{ e \} $时，存在许多不等价的实现。作为例子，研究了球面$ S^n $、环面$ T^n $和射影空间$ \RP $上的量子力学.在任何情况下，它表明，有无限数量的不等价的实现。
1993-06-28 hep-th
Non-standard connections in classical mechanics
在一阶经典场论的喷束描述中，有一些元素，如拉格朗日能量和哈密顿形式的构造，需要事先选择连接。考虑到这些事实，我们分析了含时经典力学的喷束描述的情况。因此，我们证明，这种连接依赖性也发生在这种情况下，虽然它通常是隐藏的使用“自然”的连接所考虑的相空间的平凡丛结构。然而，我们也证明了这种依赖是动态无关的，除了在能量的动态变化的关注。此外，第一积分和连接之间的关系示出了足够大的一类拉格朗日。
1995-03-02 dg-ga hep-th math.DG
Towards quantum Mechanics on the curved cotangent bundle
本文在一般弯曲余切丛上构建了位置和动量算符的自然位置表象，通过微扰方法应用于谐振子和类氢原子，揭示了谐振子无法区分位置与动量空间曲率，从而在弯曲余切丛上实现了 Born 互易性，表现为混合 UV 和 IR 物理的对称性。
2024-01-11 gr-qc hep-ph hep-th
Covariant geometric quantization of non-relativistic Hamiltonian mechanics
我们给出了具有正则泊松结构的垂直余切丛V^*Q的几何量子化。这是一个非相对论性力学的动量相空间，组态丛Q -> R。目标是V^*Q的薛定谔表示。我们证明，这种量子化等价于V^*Q -> R的辛纤维的纤维量子化，这使得非相对论力学的量子代数成为瞬时代数。经典演化方程的量子化定义了这个瞬时代数上的一个连接，它提供了非相对论力学中的量子演化作为沿时间的并行传输。
2000-12-11 hep-th math-ph math.MP
Quantum Mechanics in Infinite Symplectic Volume
我们量子化复杂的无限维射影空间CP（H）。我们应用这个结果量子化一个复杂的，有限维的，经典的相空间C，其辛体积是无限的，通过全纯嵌入到CP（H）。嵌入是通过要求它是C上的Bergman度量和CP（H）上的Fubini-Study度量之间的等距来确定的。则C上的希尔伯特空间丛是CP（H）上的希尔伯特空间丛通过嵌入的拉回。
2003-09-15 hep-th math-ph math.MP
From Loop Space Mechanics to Nonabelian Strings
把超对称量子力学提升到圈空间，就产生了超弦。一个在纤维束下带电的粒子因此变成了一个在2-束下带电的弦，或称格贝。这种字符串化只不过是分类。我们看看超对称量子力学循环空间和演示如何变形在这里产生超弦背景场和边界状态，并在推广时，局部nonabel连接循环空间。为了得到这些联系的整体描述，我们引入并研究了2-丛形式的范畴化整体holonomy和2-holonomy。我们展示了如何与nonabelian gerbes和超越获得全球nonabelian表面holonomy，从而提供了一类行动功能的nonabelian字符串。对适用于非交换p-形式规范理论研究的微分公式的检验，产生了广义非交换Deligne超上同调。讨论了这与Kalb-Ramond背景中的弦、M2/M5-膜系统、自旋弦和D-膜的衍生范畴描述的（可能的）关系。特别是，有一个与弦群相关的2-群，它应该是自旋弦的全局描述的正确结构2-群。
2005-09-21 hep-th math-ph math.MP
Lagrangian and Hamiltonian Mechanics for Probabilities on the Statistical Manifold
我们在概率分布的黎曼流形上给出了经典力学的信息几何公式，黎曼流形是一个具有对偶平坦连接的仿射流形。在一个非参数的形式主义，我们认为一个有限的样本空间上的正概率函数的完整的集合，我们提供了一个具体的表达的正切和余切空间的统计流形，在希尔伯特束结构，我们称之为统计束。在这种情况下，我们计算的速度和加速度的一维统计模型使用的典型的对偶对平行运输和定义一个连贯的形式主义的拉格朗日和哈密顿力学束。最后，在一系列的例子中，我们展示了我们的形式主义如何提供了一个一致的框架，加速自然梯度动力学的概率单纯形，铺平了道路，直接应用于优化，对策论和神经网络。
2022-08-25 cs.IT hep-th math.IT
Cartan-Calculus and its Generalizations via a Path-Integral Approach to Classical Mechanics
在本文中，我们回顾了最近提出的路径积分对应的Koopman-von Neumann操作方法的经典哈密顿力学。我们确定特别是几何变量进入这个配方，并表明它们基本上是一个基础的余切丛的切丛相空间。在这个空间中，我们引入了一个扩展的泊松括号结构，使我们能够重新做所有通常的Cartan演算辛流形通过这些括号。我们还简要地勾勒了Schouten-Nijenhuis、Frölicher- Nijenhuis和Nijenhuis-Richardson括号在我们的形式主义中的样子。
1997-02-26 dg-ga hep-th math.DG
SU(2) Dirac-Yang-Mills quantum mechanics of spatially constant quark and gluon fields
研究了空间常数SU（2）Yang-Mills场和Dirac场的最小耦合量子力学，作为双色QCD的强耦合极限.利用正则变换的夸克和胶子场，阿贝尔高斯定律的约束来实现，相应的无约束的哈密顿量和总角动量推导。这就像把有色的自旋1胶子还原成无约束的无色自旋0和自旋2胶子一样，把有色的自旋1/2夸克还原成无约束的无色自旋0和自旋1夸克。然而，这些仍然满足反对易关系，因此满足保利不相容原理。然后将得到的无约束哈密顿量改写成一种形式，它将转动自由度和标量自由度分开。在这种形式中，可以以高精度获得低能谱。作为一个说明性的例子，计算了一种味的无质量夸克的夸克-胶子系统的自旋0能谱。发现只有在满足粒子-反粒子C对称边界条件的4个约化夸克（半填充）的情况下，才能得到能量比纯胶子低的态。这些是基态，其能量比纯胶子的情况低20%左右，并形成夸克凝聚体，而σ-反σ激发的能量约为第一个胶球激发的五分之一。
2011-05-10 hep-ph hep-th math-ph
Lagrangian in quantum mechanics is a connection one-form
我们用矢量丛的语言重铸了量子力学中的狄拉克拉格朗日量，并证明了作用量是一个算符值联络单形式。与参照系的变化相关联的相位被看作是动作变换中的全微分。相对论的情况下进行了讨论，我们表明，它给出了正确的相位在非相对论的限制均匀加速度。
2003-01-24 hep-th math-ph math.MP
Contact Quantization: Quantum Mechanics = Parallel transport
量子化和量子动力学可以同时表述为在接触流形上的希尔伯特丛上找到合适的平坦连接的问题。接触几何将时间、广义位置和动量视为相时空上的点，并将经典力学简化为接触拓扑。接触量子化描述了平面连接的平行输运的量子动力学;最终目标是也处理接触拓扑的量子系统。我们的主要结果是证明了一个广泛的类量子动力学系统的本地，正式规范等价性，就像经典动力学依赖于时钟的选择，本地量子动力学可以减少到一个研究规范变换的问题。我们进一步展示了如何根据平行输运和希尔伯特束规范变换的矩阵元来写量子算符，并给出了这些结果的路径积分公式。最后，我们展示了如何将底层接触流形的拓扑与量子波函数的边界条件联系起来。
2018-05-29 gr-qc hep-th math-ph
Reduction of Quantum Systems on Riemannian Manifolds with Symmetry and Application to Molecular Mechanics
本文讨论具有对称性的量子系统约化的一般方法。对于一个黎曼流形M，若M中有一个紧李群G作为等距群，则商空间Q = M/G一般不是光滑流形，而是分层成各种维数的光滑流形的集合。若紧群G的作用是自由的，则M被构造成具有结构群G的主纤维丛。在这种情况下，约化量子系统被建立为Q = M/G上的相关向量丛上的量子系统。如果G对M的作用不是自由的，这种归约的思想就失败了。然而，Peter-Weyl定理对于M上的约化量子系统是有效的。当应用于M上的波函数空间时，Peter-Weyl定理提供了将波函数空间分解为M上的等变函数空间，其被解释为Q上约化量子系统的Hilbert空间。将主纤维丛上的联络概念推广到分层流形M上。然后将约化拉普拉斯算子定义为一个自伴算子，其边界条件为低维奇异集。并详细讨论了它在量子分子力学中的应用.实际上，本文所研究的量子系统的约化源于分子力学。如果人们希望考虑的分子，这是允许躺在一条线时，它是在运动中，本文提出的约化方法工作得很好。
2000-06-01 hep-th math-ph math.DG
Topology Classes of Flat U(1) Bundles and Diffeomorphic Covariant Representations of the Heisenberg Algebra
研究了任意流形上海森堡代数的自伴位形空间表示的一般构造。所有这些不等价的表示都用构形空间流形上平坦U（1）丛的拓扑类来参数化。在黎曼流形的情况下，这些表示也是显纯协变的。一般性的讨论，在非相对论性量子力学的一些简单的例子说明，是特别相关的系统，其配置空间参数化的曲线坐标或不是简单的连接，因此包括例如非阿贝尔规范场和重力理论的模空间。
1999-09-01 hep-th math-ph math.MP
