双始对象和双表示并没有太大的不同
Bi-initial objects and bi-representations are not so different
摘要：
引入了一个函子$\mathcal V\colon \mathrm{DblCat}_{h,nps}\to \mathrm{2Cat}_{h,nps}$，它从一个双范畴中抽取出一个$2$ -范畴，其对象和态射是垂直态射和平方.我们给出了正规伪函子$F\colon \mathbf C^{\operatorname{op}}\to \mathrm{Cat}$的双表示的一个特征，它是用$F$的元素的双范畴$\mathbb{E}l(F)$中的双双始对象表示的，或者等价地用$F$的态射的$2$ -范畴$\mathcal V\mathbb{E}l(F)$中的特殊形式的双始对象表示的.虽然不是真的一般情况下，在特殊情况下，$2$ -范畴$\mathbf C$有张量的类别$\mathbf{2}=\{0\to 1\}$和$F$保留这些张量，我们表明，一个双表示的$F$，然后正是一个双初始对象中的$2$ -类别$\mathbf{E}l(F)$的元素$F$。我们给出了这一理论在双约束和加权双极限中的应用。
英文摘要：
We introduce a functor $\mathcal V\colon \mathrm{DblCat}_{h,nps}\to \mathrm{2Cat}_{h,nps}$ extracting from a double category a $2$-category whose objects and morphisms are the vertical morphisms and squares. We give a characterisation of bi-representations of a normal pseudo-functor $F\colon \mathbf C^{\operatorname{op}}\to \mathrm{Cat}$ in terms of double bi-initial objects in the double category $\mathbb{E}l(F)$ of elements of $F$, or equivalently as bi-initial objects of a special form in the $2$-category $\mathcal V\mathbb{E}l(F)$ of morphisms of $F$. Although not true in general, in the special case where the $2$-category $\mathbf C$ has tensors by the category $\mathbf{2}=\{0\to 1\}$ and $F$ preserves those tensors, we show that a bi-representation of $F$ is then precisely a bi-initial object in the $2$-category $\mathbf{E}l(F)$ of elements of $F$. We give applications of this theory to bi-adjunctions and weighted bi-limits.
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