Moduli map of second fundamental forms on a nonsingular intersection of two quadrics
Griffiths和Harris在[GH]中提出了余维为2的射影复子流形是否由其第二基本型的模决定的问题。更精确地说，给定一个非奇异子簇$X^n \subset {\mathbb P}^{n+2}$，在一个点$x \in X$上的第二基本形式$II_{X,x}$是$T_x(X)$上的一束二次曲线，定义了一个有理映射$μ^X$，从$X$到$n$维的复向量空间上的一个适当的二次曲线模空间。Griffiths和Harris提出的问题是$μ^X$的图像是否决定了$X$。当$X^n \subset {\mathbb P}^{n+2}$是两个$n >4$维二次超曲面的非奇异交时，我们研究了这个问题.在这种情况下，在一般点$x \in X$的第二基本形式$II_{X,x}$是一个非奇异的二次曲面束。首先，我们证明了模映射$μ^X$对二次曲面的非奇异束的模是占优的。这对Griffiths-Harris的问题给出了否定的答案。为了补救这种情况，我们考虑一个改进的版本$\widetildeμ^X$的模映射$μ^X$，它考虑到无限小的信息$μ^X$。我们的主要结果是一个肯定的答案，在细化模映射：我们证明了$\widetildeμ^X$的图像确定$X$，在两个二次曲面的非奇异交叉。
2017-06-02 math.AG
Orthogonal and Linear Regressions and Pencils of Confocal Quadrics
本文构造共焦二次曲面束以几何统一刻画正交与线性回归，推广 Pearson 结果，并提出正则化、受限 PCA 及 EIV 模型应用。
2024-06-17 math.AG math.DS math.ST
Hyperelliptic Jacobians as Billiard Algebra of Pencils of Quadrics: Beyond Poncelet Porisms
Griffiths和Harris在理解Poncelet型问题的高维类似物和综合方法以获得更高生成加法定理方面的30年计划已得到解决和完成。从观察一些经典结构和构形的台球性质出发，构造了台球代数，它是$R^d$中与给定共焦族的d-1二次曲面同时相切的直线集合T上的群结构.利用该工具，Reid，Donagi和Knoerrer的相关结果得到了进一步的发展、实现和简化。我们得到一个基本性质的T：任何两条线从这个集合可以得到从对方最多d-1台球反射在一些二次曲面从共焦家庭。我们引入两个层次的概念：s-斜线在T和s-弱庞斯莱轨线，s =-1，0，. d-2。本文利用台球动力学、二次曲面交线的线性子空间和超椭圆Jacobian之间的相互关系，得到了Cayley定理、Weyr定理、Griffiths-Harris定理和Darboux定理等亏格为1的经典结果的高维和高阶推广。
2008-07-09 math-ph math.AG math.MP
A three-dimensional generalization of QRT maps
提出一种保持两个二次曲面束的三维双有理映射的几何构造，通过几何条件将映射次数降至3，并应用于Kahan型离散化，涵盖Euler陀螺等三维Nambu系统。
2023-06-11 math-ph math.AG math.DS
Ellipsoidal billiards in pseudo-Euclidean spaces and relativistic quadrics
本文研究了任意维数$d$和任意签名的伪欧几里得空间中的共焦二次曲面的几何性质，以及相关的台球动力学。我们的目标是给出一个完整的描述周期性的台球轨迹内椭球。我们的方法的新颖性是基于引入一个新的离散组合几何结构相关联的共焦铅笔的二次曲面，着色在$d$的颜色，通过它我们分解二次曲面的$d+1$几何类型的铅笔到新的相对论二次曲面的$d$相对论类型。对相关几何学和组合学的深刻理解来自于我们对热带线$Σ^+$和$Σ^-$的判别集及其奇点的研究。所有这一切使我们能够得到一个分析标准，描述所有的周期台球轨迹，包括光的那些特别感兴趣的。
2012-05-11 math-ph math.AG math.MP
The Picard group of the moduli of smooth complete intersections of two quadrics
本文研究了$\mathbb{P}^n$中两个二次曲面的光滑完全交的模空间，并将其与相应束的奇异成员的几何关系联系起来。给出了一个完整的交集的模空间的另一种表示，我们计算Picard群的所有$n\geq 3$。
2019-06-22 math.AG
On rationality of nonsingular threefolds with a pencil of Del Pezzo surfaces of degree 4
本文证明了$P^1$上两个纤维二次曲面的完全交的非奇异性准则。作为推论，我们得到以下除了Alexeev定理的合理性标准Del Pezzo纤维化的4度$P^1$：我们证明，任何纤维化的这种拓扑欧拉示性数-4是合理的。
2007-01-18 math.AG
Billiard algebra, integrable line congruences, and double reflection nets
二次曲面内的台球系统，扮演椭球上测地线的离散模拟的角色，被纳入可积四图理论。初步的观察是六角星定理，作为台球代数的运算相容性，等价于线同余的可积性条件。本文提出了二次曲面束对偶达布网的一个子类--双反射网的概念，给出了它的基本性质和几个例子。定义并讨论了与二次曲面束相关的相应的杨-巴克斯特映射。
2012-03-22 math.AG math.DS nlin.SI
Logarithmic sheaves of complete intersections
Université de Bourgogne（第戎大学）
本文研究了与完全交集相关的对数sheaves，通过分析其自由性和稳定性，对二次曲面族进行了完整分类，并给出了非自由曲面族的例子。
2026-01-08 math.AC math.AG
Convex pencils of real quadratic forms
研究了实射影空间RP^n中两个二次不等式的解的集合X的拓扑（例如X是两个实二次曲面的交）.我们给出了球面S^n中的它的贝蒂数和它的双覆盖数的显式公式;我们还给出了平面上齐次二次映射的水平集的类似公式。我们讨论了这些结果的一些应用，特别是在经典凸性理论中的应用。我们证明了X的总贝蒂数的有界b（X）\leq 2 n;我们证明了对于奇数n，这个界只能由一个奇异的X达到.在非退化情形下，我们还证明了每个特定贝蒂数b_k（X）\leq 2（k+2）上的界.
2012-09-06 math.AG math.AT math.CO
Koszul algebras and Gröbner bases of quadrics
我们目前的结果，旧的和新的，关于Koszul和G-二次性质的代数与点，曲线，三次和空间的二次低余维。
2009-03-13 math.AC math.AG
Arithmetic and birational properties of linear spaces on intersections of two quadrics
该文研究非闭域上两二次曲面光滑交线的线性空间Fano概形有理性，通过二次曲面束双曲约化证明其与对称幂双有理等价，给出不同维数下的有理性结论及实数域判别准则，推广了前人结果。
2025-07-30 math.AG
Moduli spaces and braid monodromy types of bidouble covers of the quadric
二次曲面Q的双复盖$π: S \mapsto Q$由依赖于四个正整数a，b，c，d的连通族参数化.在b=d的特殊情况下，我们称它们为abc-曲面。这样的Galois覆盖$π$允许一个小的扰动产生一个一般的4元组覆盖的Q与分支曲线$\De$，和一个自然的Lefschetz纤维化从一个小扰动的组成$ π$与第一个投影。我们证明了一个更一般的结果，这意味着对应于$\De$的辫子单值分解确定了abc-曲面的三个整数a，b，c。我们引入了一种新的方法，以区分不稳定等价的分解。这一结果与第一和第三作者以前的结果形成鲜明对比，表明对应于相应自然Lefschetz束的映射类群分解对于具有相同a+c，b值的abc-曲面是等价的。这个结果暗示了具有固定值a+c，b的abc-曲面，尽管是复纯的但不是形变等价的，可能不是正则辛同构的。
2009-10-13 math.AG math.SG
Intersections de deux quadriques et pinceaux de courbes de genre 1
本研究专着着重于数域上曲面在射影直线上的亏格为1的曲线的算法，以及射影空间中两个二次曲面的交点的算法。前半部分采用并进一步发展了由Swinnerton-Dyer于1993年提出的技术，后来由Colliot-Thélène，Skorobogatov和Swinnerton-Dyer推广，用于研究亏格1曲线束上的有理点。下半年，建立在第一，是致力于四次del Pezzo表面和高维相交的两个二次曲面。在两个著名的命题（Schinzel假设和椭圆曲线的Tate-Shafarevich群的有限性）的基础上，它建立了两个n>2的二次曲面的所有光滑n维交点以及一大类4次del Pezzo曲面的Hasse原理。
2015-02-16 math.AG math.NT
Polarized K3 surfaces of genus thirteen and curves of genus three
本研究将亏格3曲线上秩2稳定向量丛的6维模空间上的完全交簇，刻画为亏格13的本原极化K3曲面，超椭圆曲线情形下进一步对应格拉斯曼簇中两个Spin(7)切触齐性簇的交，丰富了K3曲面的几何构造。
2023-10-03 math.AG
Symmetric tensors and the geometry of subvarieties of $\Bbb P^N$
本文用几何方法证明了扭对称微分空间$H^0(X,S^mΩ^1_X\otimes \Cal O_X(k))$与$k\le m$在子簇$X\subset \Bbb P^N$上的消失和非消失的新结果，并改进了旧结果. $k=m$的情况是特殊的，非零结果与包含$X$的二次曲面空间有关，并导致与$X$相关的有趣几何对象，例如$X$的所有相切三割线的变化。同样的技术给结果的对称微分的子品种的阿贝尔品种。本文最后给出了关于对称复属的投射簇$X_t$，$Q_m(X)= \dim H^0(X,S^mΩ^1_X)$，或$α$ -扭曲对称复属的投射簇$Q_{α,m}(X)= \dim H^0(X,S^m(Ω^1_X\otimes αK_X))$沿光滑簇跳跃的新结果和例子.
2006-09-18 math.AG math.CV
