New upper bounds for trace reconstruction
Zachary Chase
我们表明，任何$n$位串可以恢复与高概率从$\exp(\widetilde{O}(n^{1/5}))$独立的随机序列。
We show that any $n$-bit string can be recovered with high probability from $\exp(\widetilde{O}(n^{1/5}))$ independent random subsequences.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Trace Reconstruction with Bounded Edit Distance
迹重建问题研究了以高概率恢复未知串$\boldsymbol{x}\in\{0,1\}^n$所需的噪声样本的数量，其中样本是通过使$\boldsymbol{x}$通过具有删除概率$q$的随机删除信道而独立获得的。由于其在DNA测序和DNA存储中的应用，这个问题最近受到了极大的关注。然而，在迹重建问题的上界和下界之间仍然存在指数差距。本文研究了当$\boldsymbol{x}$被限制在半径为$k$的编辑距离球上时的迹重构问题，这实质上等价于区分两个编辑距离至多为$k$的字符串.结果表明，$n^{O(k)}$样本足以实现这一任务的概率很高。
Mean-Based Trace Reconstruction over Oblivious Synchronization Channels
基于均值的重建是一种基本的、自然的方法，用于在具有同步误差的信道上进行最坏情况的迹重建。已知$\exp(O(n^{1/3}))$迹线对于删除信道上的基于均值的最坏情况迹线重构是必要且充分的，并且该结果还被扩展到组合均匀随机比特的删除和几何插入的某些信道。在这项工作中，我们使用一个简单的扩展原来的复杂的分析方法来表明，这些结果是一个更普遍的现象的例子。我们引入不经意的同步通道，它将每个输入位映射到随机位的复制和插入的任意分布序列。此常规类捕获所有先前考虑的同步通道。我们发现，对于任何不经意的同步通道，其输出长度遵循一个次指数分布的平均为基础的跟踪重建是不可能的或$\exp(O(n^{1/3}))$痕迹足以完成这项任务。
New Lower Bounds for Trace Reconstruction
我们改进了最坏情况下的轨迹重建的下界从$Ω\left(\frac{n^{5/4}}{\sqrt{\log n}}\right)$到$Ω\left(\frac{n^{3/2}}{\log^{7} n}\right)$。因此，我们将平均情况下的轨迹重建的下界从$Ω\left(\frac{\log^{9/4}n}{\sqrt{\log\log n}}\right)$提高到$Ω\left(\frac{\log^{5/2}n}{(\log\log n)^{7}}\right)$。
Approximate trace reconstruction of random strings from a constant number of traces
在迹重建问题中，目标是从通过使$x$通过删除通道而获得的多个迹重建长度为$n$的未知串$x$。在$approximate$轨迹重建的松弛问题中，目标是重建$x$的近似$\widehat{x}$，该近似在编辑距离上接近（在$εn$内）$x$。我们表明，对于大多数字符串$x$，这是可能的，仅使用一个恒定数量的痕迹的概率很高。至关重要的是，该常数不随$n$增长，而仅取决于缺失概率和$ε$。
Approximate Trace Reconstruction
在通常的轨迹重构问题中，目标是在长度为$n$的未知串独立地通过删除通道多次之后精确地重构该未知串，从而产生一组轨迹（即，字符串的随机序列）。我们考虑松弛的近似重建问题。这里，目标是输出一个在编辑距离上接近原始字符串的字符串，同时使用比精确重建所需的少得多的迹线。我们提出了几种算法，可以近似重建属于某些类的字符串，其中估计是在$n/\mathrm{polylog}(n)$编辑距离内，我们只使用$\mathrm{polylog}(n)$痕迹（或有时只是一个单一的痕迹）。这些类包含的字符串需要线性数量的轨迹来精确重建，并且与典型的随机字符串完全不同。从技术的角度来看，我们的算法近似重建连续的子串的未知字符串对齐密集区域的痕迹，并使用一个合适的长度来近似每个区域。为了补充我们的算法，我们提出了一个一般的黑盒下界近似重建，建立在一个下界区分两个候选输入字符串在最坏的情况下。特别是，这表明在最坏情况下，接近$n^{1/3 - δ}$编辑距离内需要$0< δ< 1/3$的$n^{1 + 3δ/2}/\mathrm{polylog}(n)$迹线。
Trace Reconstruction of First-Order Reed-Muller Codewords Using Run Statistics
本文推导了二进制序列经过删除信道后迹中预期游程数的表达式，并证明当删除概率为1/2时，一阶Reed-Muller码字可高概率地从$\tilde{O}(n^2)$条迹中重构。
Average-case reconstruction for the deletion channel: subpolynomially many traces suffice
删除通道将位串$\mathbf{x} \in \{0,1\}^n$作为输入，并且以概率$q$独立地删除每个位，从而产生较短的串。轨迹重建问题是从应用于$\mathbf{x}$的删除通道的许多独立输出（称为“轨迹”）中恢复未知字符串$\mathbf{x}$。我们表明，如果$\mathbf{x}$是均匀随机和$q < 1/2$，然后$e^{O(\log^{1/2} n)}$痕迹足以重建$\mathbf{x}$具有高概率。Holenstein-Mitzenmacher-Panigrahy-Wieder在2008年建立的先前最佳界限使用$n^{O(1)}$迹线，并且仅适用于小于较小阈值的$q$（似乎需要$q < 0.07$）。我们的算法结合了几个想法：1）一个对齐方案的“greenstick”拟合删除通道的输出作为输入的子序列; 2）一个版本的“锚定”的想法使用的Holenstein-Mitzenmacher-Panigrahy-Wieder;和3）复杂的分析技术，从最近的工作Nazarov-Peres和De-O 'Donnell-Servedio。
Subpolynomial trace reconstruction for random strings and arbitrary deletion probability
插入-删除通道将比特串${\bf x}\in\{0,1\}^{n}$作为输入，并且输出其中比特已经被随机地独立地删除和插入的串。轨迹重建问题是从应用于$\bf x$的插入-删除通道的许多独立输出（称为“轨迹”）恢复$\bf x$。我们表明，如果$\bf x$随机均匀选择，那么$\exp(O(\log^{1/3} n))$迹线足以以高概率重建$\bf x$。对于具有删除概率$q < 1/2$的删除通道，较早的上界是$\exp(O(\log^{1/2} n))$。之前未分析过$q\geq 1/2$的情况或允许插入的情况，因此早期的上界与最差情况字符串相同，即，$\exp(O( n^{1/3}))$。我们还表明，我们的重建算法运行在$n^{1+o(1)}$时间。在我们的证明中的一个关键成分是一个微妙的两步对齐过程，我们估计在每个轨迹对应于一个给定的位$\bf x$的位置。通过将字符串视为随机游动并分别比较与输入字符串和轨迹相关联的游动中的增量来完成对齐。
Lower bounds for trace reconstruction
在迹重建问题中，通过删除通道发送未知位串${\bf x}\in\{0,1 \}^n$，其中每个位以某种概率$q\in(0,1)$独立地被删除，从而产生收缩的串$\widetilde{\bf x}$。有多少个ID需要$\widetilde{\bf x}$样本以高概率重建$\bf x$？我们证明了存在${\bf x},{\bf y} \in\{0,1 \}^n$，使得对于某个绝对常数$c$，至少需要$c\, n^{5/4}/\sqrt{\log n}$迹来区分${\bf x}$和${\bf y}$，从而改进了以前的$c\,n$下界.此外，我们的结果提高了以前已知的下限重建随机字符串从$c \log^2 n$到$c \log^{9/4}n/\sqrt{\log \log n} $。
Trace reconstruction with $\exp( O( n^{1/3} ) )$ samples
在迹重建问题中，通过删除通道观察到未知位串$x \in \{0,1\}^n$，该删除通道以某个恒定概率$q$删除$x$的每个位，从而产生收缩串$\widetilde{x}$。需要多少个独立的$\widetilde{x}$拷贝才能以高概率重建$x$？在此之前，Holenstein、Mitzenmacher、Panigrahy和Wieder（2008）提出的最佳上界是$\exp(\widetilde{O}(n^{1/2}))$。我们改进了这个绑定到$\exp(O(n^{1/3}))$使用的输出中的各个位的统计数据，并表明，这个绑定是尖锐的限制模型，这是唯一使用的信息。我们的方法，使用基本的复分析，也可以处理插入。
Tree trace reconstruction using subtraces
树迹重构的目的是学习树的二进制节点标签，给定树的独立样本通过适当定义的删除通道。在最近的工作中，Davies、Rácz和Rashtchian使用组合方法证明了$\exp(\mathcal{O}(k \log_{k} n))$样本足以重建一个完整的$k$ -ary树，其中$n$节点具有高概率。我们提供了另一种证明这一结果，这使我们能够推广到更广泛的一类树拓扑结构和删除模型。在我们的证明中，我们引入了一个subtrace的概念，这使我们能够连接和推广最近的平均为基础的复杂的分析算法的字符串轨迹重建。
Average-Case to (shifted) Worst-Case Reduction for the Trace Reconstruction Problem
{ \em插入-删除通道}将二进制串$x \in\{0, 1\}^n$作为输入，并输出其中一些位已被删除而其他位被随机独立插入的串$\widetilde{x}$。在{ \em轨迹重构问题}中，在同一输入消息$x$上给出插入-删除通道的许多输出（称为{ \em轨迹}），并要求恢复输入消息。Nazarov和Peres（STOC 2017）以及De，O 'Donnell和Servedio（STOC 2017）表明，任何字符串$x$都可以从$\exp(O(n^{1/3}))$轨迹中重建。Holden、Pemantle、Peres和Zhai（COLT 2018）将用于证明该上限的技术应用于样本复杂度为$\exp(O(\log^{1/3} n))$的平均情况轨迹重建算法。然而，目前尚不清楚如何更普遍地应用他们的技术，特别是Chase（STOC 2021）针对删除通道显示的最近最差情况的$\exp(\widetilde{O}(n^{1/5}))$上限。我们证明了一个一般的减少，从平均情况下，以较小的情况下，类似的最坏情况下的问题。利用这种减少和推广的大通的界限，我们构造了一个改进的平均情况下的算法与样本复杂度为$\exp(\widetilde{O}(\log^{1/5} n))$。此外，我们表明，大通的上限持有的插入-删除通道以及。
Trace reconstruction with varying deletion probabilities
在迹重建问题中，通过删除通道观察未知串${\bf x}=(x_0,\dots,x_{n-1})\in\{0,1,...,m-1\}^n$，该删除通道以一定概率删除每个$x_k$，产生收缩串$\widetilde{\bf X}$。早期的工作已经证明，如果每个$x_k$以相同的概率$q\in[0,1)$被删除，则压缩字符串$\widetilde{\bf X}$的$\exp(O(n^{1/3}))$独立副本足以以高概率重建$\bf x$。我们扩展这个上界的设置删除概率不同，假设一定的规律性条件。首先，我们考虑$x_k$以某个已知概率$q_k$被删除的情况。然后我们考虑每个字母$ζ\in \{0,1,...,m-1\}$与某个可能未知的删除概率$q_ζ$相关联的情况。
Substring Density Estimation from Traces
在轨迹重构问题中，人们试图从轨迹的集合中重构二进制串$s$，每个轨迹是通过将$s$传递通过删除通道而获得的。已知$\exp(\tilde O(n^{1/5}))$迹线足以以高概率重构任何长度- $n$串。我们考虑一个变种的跟踪重建问题，其目标是恢复一个“密度图”，表明整个$s$的每个长度$k$子串的位置。我们表明，$ε^{-2}\cdot \text{poly}(n)$痕迹足以恢复的密度图与错误最多$ε$。结果，当被限制到其最小“密度图距离”至少为$1/\text{poly}(n)$的一组源串时，可以用多项式多个迹线来解决迹线重构问题。
Limitations of Mean-Based Algorithms for Trace Reconstruction at Small Distance
迹重建考虑了给定多个独立“迹”，即，通过以一定概率$p$随机且独立地删除$x$的每个符号而获得的$x$的序列。恢复长度为$n$的字符串所需的迹线数量的信息论极限仍然是未知的。该限制基本上与确定所需的跟踪数相同，给定字符串$x$和$y$以及其中之一的跟踪，哪个字符串是源。研究最多的一类算法的最坏情况下的版本的问题是“均值为基础的”算法。这是一类受限的分类器，仅使用给定样本上每个坐标的平均值。在这项工作中，我们研究了基于平均值的算法在小汉明或编辑距离字符串的限制。我们表明，一方面，区分字符串附近的汉明距离是“容易”的，这样的observers。另一方面，我们表明，区分字符串附近的编辑距离是“硬”的平均值为基础的算法。一路上，我们还描述了一个连接到著名的Prouhet-Tarry-Escott（PTE）问题，这表明了一个障碍，找到明确的难以区分的字符串：即这样的字符串将意味着明确的短期解决方案的PTE问题，一个众所周知的困难问题，在数论。此外，我们表明，反过来也是正确的，因此，寻找显式解决方案的PTE问题是等价的问题，找到明确的字符串是难以区分的平均值为基础的算法。我们的技术依赖于复分析参数，涉及仔细的三角估计，和代数技术，包括应用笛卡尔的规则的符号多项式的实数。
Reconstructing Trees from Traces
我们研究的问题，学习一个节点标记的树从一个适当定义的删除通道的独立的痕迹。这个问题，树迹重建，推广字符串迹重建，对应于树是一个路径。对于许多类的树，包括完整的树和蜘蛛，我们提供的算法，重建的标签只使用一个多项式数量的痕迹。这与已知的弦迹重建结果形成鲜明对比，弦迹重建需要指数级的多个迹线，并且其中一个中心开放问题是确定多项式数目的迹线是否足够。我们的技术结合了新颖的组合和复杂的分析方法。
An Instance-Based Approach to the Trace Reconstruction Problem
该研究提出迹重构问题的基于实例研究框架，定义莱文斯坦难度刻画实例难度，推导其下界并证明大类字符串下迹数量需随长度指数增长，还为交替长游程二元字符串设计了匹配该难度缩放的重构算法。
Reconstructing Arbitrary Trees from Traces in the Tree Edit Distance Model
在本文中，我们考虑的问题，重建树的痕迹在树编辑距离模型。Davies等人（2019）的先前工作分析了重建标记树的特殊情况。在这项工作中，我们显着扩大我们对这个问题的理解，在任意树的情况下，给出一般的结果。即，我们给出：当树拓扑已知时，从树迹重建问题到更经典的字符串重建问题的简化，学习任意树拓扑的下界，以及使用Nazarov和Peres（2017）的技术学习任何树的拓扑的通用算法。最后，我们讨论了为什么任意树需要指数许多样本下左传播模型。
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