$q$-Painlevé方程在簇泊松簇上的环面几何实现
$q$-Painlevé equations on cluster Poisson varieties via toric geometry
AI总结：
本文通过环面几何建立$q$-Painlevé方程与簇泊松簇的联系，引入$q$-Painlevé型种子并分类其突变等价类，与Sakai分类一致，并将$q$-Painlevé系统实现为簇泊松簇上的自同构。
摘要：
我们通过使用与$q$-Painlevé方程相关的有理曲面的环面模型，建立了$q$-Painlevé方程的几何框架与簇泊松簇之间的联系。我们通过种子相关的对称双线性形式的负半定性引入了$q$-Painlevé型种子的概念，并对这些种子的突变等价类进行了分类。该分类与Sakai给出的$q$-Painlevé方程分类一致。我们将$q$-Painlevé系统实现为与$q$-Painlevé型种子相关的簇泊松簇上的自同构。
英文摘要：
We provide a relation between the geometric framework for $q$-Painlevé equations and cluster Poisson varieties by using toric models of rational surfaces associated with $q$-Painlevé equations. We introduce the notion of seeds of $q$-Painlevé type by the negative semi-definiteness of symmetric bilinear forms associated with seeds, and classify the mutation equivalence classes of these seeds. This classification coincides with the classification of $q$-Painlevé equations given by Sakai. We realize $q$-Painlevé systems as automorphisms on cluster Poisson varieties associated with seeds of $q$-Painlevé type.
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