Morse index and symmetry-breaking bifurcation of positive solutions to the one-dimensional Liouville type equation with a step function weight
本文针对带阶跃函数权重的一维Liouville型方程，计算正偶对称解的Morse指标，并证明从对称破缺分歧点出发存在无界的正非偶对称解连通集。
2025-07-21 math.AP
Symmetry-breaking bifurcation for the one-dimensional Liouville type equation
考虑一维Liouville型方程的两点边值问题.本文利用Morse指标得到了一个破缺的结果。
2016-02-25 math.AP
Classification and Liouville-type theorems for semilinear elliptic equations in unbounded domains
本文对维数不超过10的欧几里得空间或无界区域上的一般半线性椭圆型方程的稳定解和有限Morse指数解进行了分类。
2019-12-25 math.AP
Construction of a Sturm-Liouville vessel using Gelfand-Levitan theory. On solution of the Korteweg-de Vries equation in the first quadrant
利用射线上的Gelfand-Levitan理论，构造了一类谱函数满足一定正则性假设的势的容器。当谱测度的奇异部分不存在时，我们构造了一个正则的血管模型。最后，演化构造的容器，我们解决了Korteweg de Vries方程的射线，符合$t=0$的给定的潜力。它示出，x=0的初始值是由这个结构规定的，但可以使用“正交”的问题措施扰动。结果，在这项工作中提出1。包括Gelfand-Levitan方程的成分公式，2。的NLS，正则系统和许多方程可以解决的意义上是一般的容器理论，类似于Zacharov-Shabath计划，3。提出了一个广义逆散射理论线上的潜力与奇异使用预容器，4。介绍Tau的功能及其作用。
2012-12-07 math.AP math.FA math.SP
On stable and finite Morse index solutions of the fractional Toda system
当$0<s<1$，$α=1,\cdots,Q$，$f_0=-\infty$，$f_{Q+1}=\infty$和$Q \ge2$为分数阶Toda系统的方程个数时，我们给出了分数阶Toda系统$$ (-Δ)^s f_α= e^{-(f_{α+1}-f_α)} - e^{-(f_α-f_{α-1})} \quad \text{in} \ \ \mathbb R^n,$$解的单调性公式.然后，我们应用这个公式，技术的积分估计，分类稳定的齐次解决方案，并吹分析参数，建立刘维尔型定理有限莫尔斯指数（和稳定）的解决方案，上述系统时，$n > 2s$和$$ \dfrac{Γ(\frac{n}{2})Γ(1+s)}{Γ(\frac{n-2s}{2})} \frac{Q(Q-1)}{2} > \frac{ Γ(\frac{n+2s}{4})^2 }{ Γ(\frac{n-2s}{4})^2} . $$在这里，$Γ$是伽马函数。当$Q=2$时，上述方程是经典的（分数）Gelfand-Liouville方程。
2020-06-30 math.AP
Uniformly boundedness of finite Morse index solutions to semilinear elliptic equations with rapidly growing nonlinearities in two dimensions
本文研究二维严格凸区域中快速增长非线性项的 Gelfand 问题，通过结合增长条件与基本解形状的新方法证明有限 Morse 指标解一致有界，并揭示一般凸区域中具有无穷多分岔/转折点的解曲线结构。
2025-06-15 math.AP
Liouville-type theorems for the fourth order nonlinear elliptic equation
本文考虑非线性椭圆型方程{方程 *} Δ^2 u= |x| ^a |u| ^{p-1}u\;\ {in}\;\ Ω，{方程 *}的Liouville型定理，其中$a \ge 0$，$p>1$和$Ω\subset \mathbb{R}^n$是$\mathbb{R}^n$，$n \ge 5$的无界区域.我们证明了属于以下类别之一的解决方案的刘维尔型定理：稳定的解决方案和有限的莫尔斯指数的解决方案（无论是积极的或改变符号）。我们的证明是基于组合的{ \it Pohozaev型身份}，{ \it单调性公式}的解决方案和{ \it吹下}序列，这是用来获得更清晰的结果。
2013-07-09 math.AP
Existence and Uniqueness for the Fractional Gelfand Equation in $\mathbb{R}$
本文利用基于v=√(e^u)的不动点格式和非局部打靶法，证明了一维分数阶Gelfand方程在s∈(1/2,1)时解的存在、对称、唯一、有限Morse指标及非退化性，并推广到一般正偶递减K。
2025-06-09 math.AP
Sharp Liouville thresholds and endpoint rigidity for finite Morse index solutions of the $p$-Laplace Lane--Emden equation
Faculty of Economic Mathematics, University of Economics and Law（经济数学学院，经济与法律大学）；Vietnam National University（越南国家大学）
本文证明$p$-Laplace Lane--Emden方程在超临界范围内无径向对称假设的Liouville定理，给出尖锐阈值并解决Aubin--Talenti极值的Morse指标问题。
2026-10-05 math.AP
Stable solutions and finite Morse index solutions of nonlinear elliptic equations with Hardy potential
研究了具有Hardy势的非线性椭圆型方程\begin{displaymath} Δu+\dfracμ{|x|^2}u+|x|^l |u|^{p-1}u=0 \qquad \textrm{in}\ \ Ω, \end{displaymath}的稳定解和有限Morse指数解的Liouville型结果，其中$Ω=\RN$，$\RN\setminus\{0\}$为$N\geq3$，$p>1$，$l>-2$和$μ<(N-2)^2/4$ .我们的结果依赖于一个新的临界指数$p=p_c(l,μ)$和Hardy项中的参数$μ$。证明了$1<p<p_c(l,μ)$不存在非平凡稳定解和有限Morse指标解.我们还观察到的范围内的指数$p$大于$p_c(l,μ)$满足我们的方程承认一个积极的径向稳定的解决方案。
2013-05-11 math.AP
Uniform boundedness for finite Morse index solutions to supercritical semilinear elliptic equations
Academy of Mathematics and Systems Science, the Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文研究超临界半线性椭圆方程在凸域内有限莫尔斯指数解的统一有界性，证明了3≤n≤9维度范围内的L^∞界。
2026-01-08 math.AP
Partial regularity and Liouville theorems for stable solutions of anisotropic elliptic equations
研究拟线性椭圆方程\begin{equation*} -Qu=e^u \ \ \text{in} \ \ Ω\subset \mathbb{R}^{N} \end{equation*}，其中算子$Q$，称为Finsler Laplacian（或各向异性Laplacian），定义为$$Qu:=\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(F(\nabla u)F_{ξ_{i}}(\nabla u)),$$，其中$F_{ξ_{i}}=\frac{\partial F}{\partialξ_{i}}$和$F: \mathbb{R}^{N}\rightarrow[0,+\infty)$是$ C^{2}(\mathbb{R}^{N}\setminus\{0\})$的凸函数，满足一定的假设.对于有界域$Ω$和上述方程的稳定弱解，我们证明了奇异集的Hausdorff维数不超过$N-10$ .对于整个空间，我们应用Moser迭代参数，建立由Dancer-Farina和Crandall-Rabinowitz的上下文中，证明刘维尔定理的稳定的解决方案和有限的莫尔斯指数的解决方案的尺寸$N<10$和$2<N<10$，分别。我们还提供了一个明确的解决方案，是稳定的紧集以外的$N=2$。此外，我们提供了类似的刘维定理的幂型非线性。
2020-08-10 math.AP
A note on a multiplicity result for the mean field equation on compact surfaces
本文研究紧致曲面上具有指数非线性项的Liouville型方程，它描述了具有任意符号涡的平衡湍流的平均场方程。利用莫尔斯理论给出了这类方程的第一个多重性结果。
2017-03-06 math.AP
Effect of weights on stable solutions of a quasilinear elliptic equation
本文研究拟线性椭圆型方程$-Δ_p u= f(x) F(u) $在$\mathbb{R}^n$中的稳定弱解和有限Morse指数弱解的Liouville定理，其中$p\ge 2$，$0\le f\in C(\mathbb{R}^n)$和$F\in C^1(\mathbb{R})$ .我们将$f(x)$称为{ \it权重}，将$F(u)$称为{ \it非线性}。值得注意的事实是，如果权函数从下到上由严格的正常数$0<C\le f$限制，那么它对稳定解没有太大影响，然而，非负权$0\le f$将推动某些临界尺寸。这种分析观察有可能应用于各种模型，以推动某些众所周知的关键尺寸。对于一般的非线性$F\in C^1(\mathbb{R})$和$f(x)=|x|^α$，我们证明了在$n\le \frac{4(p+α)}{p-1}+p$维上的有界径向稳定解的Liouville定理。对于特定的非线性$F(u)=e^u$，$u^q$其中$q>p-1$和$-u^{q}$其中$q<0$，被称为Gelfand，车道埃姆登和负指数的非线性，分别，我们证明刘维定理径向有限莫尔斯指数（不一定有界）和稳定（不一定径向也没有界）的解决方案。
2013-05-24 math.AP
A Monotonicity Formula and a Liouville-type Theorem for a Fourth Order Supercritical Problem
我们考虑非线性四阶问题$$ Δ^2 u=|u|^{p-1}u\ \{in} \ \R^n,$$的Liouville型和部分正则性结果，其中$ p>1$和$n\ge1$ .我们给出了一个完整的分类的稳定和有限的莫尔斯指数的解决方案（无论是积极的或符号变化），在整个指数范围。我们还计算了奇异极值解集的豪斯多夫维数的上界。我们的方法是由Fleming的切锥分析技术的极小曲面和Federer的降维原理的部分正则性理论。其中一个重要工具是双调和方程的单调性公式。
2013-03-25 math.AP math.DG
Global solution curves for self-similar equations
考虑了$R^n$中单位球上半线性狄利克雷问题\[ Δu+λf(u)=0, \;\; \mbox{for $|x|<1$}, \;\; u=0 , \;\; \mbox{when $|x|=1$} \]的正解.对于四类自相似方程，可以通过单个初值问题的解来参数化整个（全局）解曲线。这使我们能够得出的结果的多重性的解决方案，并对他们的莫尔斯指数。特别地，我们很容易地恢复了D.D.约瑟夫和T. Lundgren [6]关于Gelfand问题。令人惊讶的是，情况原来是不同的广义Gelfand问题，其中无限多个回合是可能的任何空间维度$n \geq 3$。我们还得到了静电微机电系统（MEMS）的方程模型的详细结果，特别是我们很容易恢复Z。Guo和J.Wei [4]的结果，并证明了解的Morse指数在每一圈增加1。我们还考虑了自相似的Henon方程。
2016-10-17 math.AP math.FA
Liouville type theorems for stable solutions of certain elliptic systems
在$\mathbb{R}^N$上建立了具有各种非线性项的椭圆型方程组的Liouville型定理。除其他事项外，我们表明，一个系统没有半稳定的解决方案，在任何方面，每当相应的非线性导数的下确界是积极的。我们给出了一些直接的应用到各种标准系统，如Gelfand，和某些哈密顿系统。下确界为零的情况更有趣，也更有挑战性。本文证明了下列Lane-Emden方程组{eqnarray*} \hbox{$(N_{λ,γ})$}50pt \{{array}{lcl} \hfill -Δu&=&λf（x）\ v^p，\hfill-Δv&=&γf（x）\ u^q，{array}的任何$C^2(\mathbb{R}^N)$正整半稳定解. {eqnarray*}必须是常数，只要维度$N< 8+3α+\frac{8+4α}{q-1}$，提供$p=1$、$q\ge2$和$f(x)= (1+|x|^2)^{\fracα{2}} $。这同样适用于由$N < 2+ \frac{2(2+α)}{p-1} (p+\sqrt{p(p-1)})$提供的$p=q\ge2$。我们还考虑了有界域$Ω\subset\mathbb{R}^N$的情况，其中我们将Brown等人的\cite{bs}和Tertikas \cite{te}关于方程稳定解的结果推广到系统。最后，我们证明了一类加权椭圆型方程组的Pohozaev型定理。
2011-11-22 math.AP
Extremal solution and Liouville theorem for anisotropic elliptic equations
本文研究拟线性Dirichlet边值问题\begin{equation}\nonumber \left\{ \begin{aligned} -Qu&=λe^{u} \quad \mbox{in}\quadΩ\\ u&=0 \quad \mbox{on}\quad\partialΩ,\\ \end{aligned} \right. \end{equation}，其中$λ>0$是参数，$Ω\subset\mathbb{R}^{N}$和$N\geq2$是有界区域，算子$Q$，称为Finsler-Laplacian算子或各向异性Laplacian算子，由$$Qu:=\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(F(\nabla u)F_{ξ_{i}}(\nabla u)). $$定义。这里，$F_{ξ_{i}}=\frac{\partial F}{\partialξ_{i}}$和$F: \mathbb{R}^{N}\rightarrow[0,+\infty)$是满足一定假设的$ C^{2}(\mathbb{R}^{N}\setminus\{0\})$的凸函数。当$N\leq9$满足时，我们得到了极值解的存在性，并证明了它是正则的。我们还研究了Hénon型各向异性Liouville方程，即$$-Qu=(F^{0}(x))^αe^{u}\quad\…
2021-01-04 math.AP
Variational theory for the resonant T-curvature equation
研究了紧致四维带边黎曼流形上的共振规定T曲率问题。我们得到尖锐的能量和梯度估计的相关Euler-Lagrange功能的特点在无穷远的临界点的相关变分问题下的一个自然相关的Hamilton函数的非退化。利用这一点，我们得到了一个莫尔斯型引理周围的临界点在无穷远。利用无穷远处的Morse引理，证明了Morse理论型的新的存在性结果.结合无穷远处的Morse引理和在[46]中发展的Bahri-Coron[13]的重心技术的Liouville版本，我们证明了在拓扑假设下关于基础流形的边界以及无穷远处的入口集和出口集的新的存在性结果.
2021-07-27 math.AP math.DG
A general existence result for stationary solutions to the Keller-Segel system
考虑光滑有界平面区域上的Liouville型偏微分方程，它与Keller-Segel趋化模型的定态解有关。我们证明了解的存在性在一些代数条件下的参数。特别是，如果域不是单连通的，那么我们可以找到参数的一般选择的解决方案。我们使用变分和莫尔斯理论方法。
2018-12-09 math.AP
Existence results for a non-relativistic Chern-Simons model with purely mutual interaction
University of Udine（乌迪内大学）；Pusan National University（釜山国立大学）
本文研究非相对论陈-西蒙模型中纯相互作用的解的存在性，通过变分方法和莫尔斯理论论证得出存在性和多重性结果。
2026-01-11 math.AP
Instability of the Standing Pulse in Skew-Gradient Systems and Its Application to FitzHugh-Nagumo Type Systems
本文研究了非自共轭斜梯度系统中稳定脉冲的不稳定性，并将其应用于FitzHugh-Nagumo型系统，通过拓扑方法分析非线性抑制对脉冲稳定性的影响。
2026-01-10 math.AP math.DS
On the Hénon-Lane-Emden conjecture
本文考虑Hénon-Lane-Emden系统\hfill -Δu&=& |x| ^{a}v^p \text{in} \mathbb{R}^N，\hfill -Δv&=& |x| ^{b}u^q \text{in} \mathbb{R}^N的Liouville型定理，当$pq>1$，$p,q,a,b\ge0$ .主要的猜想是：当$(p,q)$在临界Sobolev双曲线下时，即$ \frac{N+a}{p+1}+\frac{N+b}{q+1}>{N-2}$，不存在非平凡的非负解。我们表明，这确实是在维度N=3的情况下，解决方案也被假定为有界的，扩展最近建立的结果，在标量的情况下，由soulet。假设解的稳定性，我们就可以证明高维的刘维尔型定理。对于标量情况，尽管是二阶（$a=b$和$p=q$）或四阶（$a\ge 0=b$和$p>1=q$），我们表明，对于第一种情况下的所有维度$N\ge 3$（分别为，当$p$低于相应的临界指数，即$ 1<p<\frac{N+2+2a}{N-2}$时，$ 1<p<\frac{N+4+2a}{N-4}$）。最后，证明了当\label{sysdim00} N<2+2（\frac{p(b+2)+a+2}{pq-1}）（\sqrt{\frac{pq(q+1)}{p+1}} + \sqrt{\frac{pq(q+1)}{p+1}-\sqrt\frac{pq(q+1…
2012-09-27 math.AP
Multiple normalized solutions to a system of nonlinear Schrödinger equations
本文研究K个耦合非线性薛定谔方程系统的归一化解，证明两方程情形下耦合足够大时存在多个解，负耦合时无基态解，创新点在于用Cwikel-Lieb-Rozenblum定理估计Morse指标及外部区域Liouville型结果。
2025-02-25 math.AP
