Symmetric powers in abstract homotopy categories
我们研究了抽象闭对称monoidal模型范畴的同伦范畴中的对称幂，在不稳定和稳定的情况下。作为一个结果，我们证明了对称幂保持Nisnevich和etale同伦类型的不稳定和稳定的motivic同伦理论的计划在一个基地。更确切地说，如果f是关于概型上的Nisnevich或etale拓扑的动机空间的弱等价，或正相关动机谱之间的弱等价，则所有对称幂Sym^n（f）也是弱等价。这给出了左导对称幂，它们在基上的相应的动机同伦范畴上聚集成范畴的非线性结构。
2014-03-24 math.AG math.AT
Abstract cubical homotopy theory
三角剖分和更高的三角剖分公理化的演算时，派生的上核适用于字符串的组合态射。虽然没有立体版本的（更高）三角形，在本文中，我们使用连贯的图表，以发展丰富的立体演算的某些方面。应用于背景中的模型，这增强了三角化和张量三角化类别的典型示例。主要的参与者是n-立方体的基数过滤，余基数和强余基数n-立方体之间的诱导插值，以及迭代锥构造的瑜伽。在稳定的情况下，n维立方体块的表示论通过相容的强稳定等价联系起来，并承认塞尔对偶的整体形式。作为示例应用程序，我们使用这些塞尔等价表示colimits的限制和相关的抽象表示论的块的无限链的限制。在更抽象的一面，沿着这条路，我们建立了一个一般的分解结果的colimits，专门为经典Bousfield-Kan公式。我们还包括一个简短的讨论抽象的公式和它们的兼容性与态射，导致在monoidal同伦理论的普遍公式的想法。
2018-03-15 math.AT math.CT math.RT
Algebraic K-theory and abstract homotopy theory
我们根据Waldhausen范畴的Dwyer-Kan单纯局部化对K-理论空间进行了分解。这导致了一个标准函子诱导等价的K-理论谱，概括和解释了许多标准出现在文献中。我们表明，在温和的假设下，弱精确函子，诱导等价的同伦范畴诱导等价的K-理论谱。
2010-11-02 math.AT math.KT
Homotopy (Pre-)Derivators of Cofibration Categories and Quasi-Categories
我们证明了同伦预导子的上纤维化范畴是等价的同伦预导子的相关拟范畴的框架，介绍了Szumietro。我们使用这个比较结果来推导所获得的预导子的各种抽象性质。
2018-04-20 math.AT math.CT
Polyhedral products in abstract and motivic homotopy theory
本文在$\infty$-范畴设定下引入多面体乘积，推广了确定稳定同伦型的分裂结果，并利用该结果计算了力矩角复形motivic细化后的胞腔$\mathbb{A}^1$-同调与$\mathbb{A}^1$-欧拉示性数。
2024-08-27 math.AG math.AT
Tilting theory via stable homotopy theory
我们表明，某些倾斜的结果颤抖的稳定性的正式后果，因此是一个正式的微积分的一部分，在任何抽象的稳定同伦理论。因此，这些结果是有效的，例如在任意的地面环，拟相干模的计划，在微分分次上下文中，在稳定同伦理论，也在等变，motivic或参数化的变体。在进一步的工作中，我们将继续发展这种微积分，并获得更多的抽象倾斜结果。在这里，我们还推导出一个额外的表征的稳定性，基于古德威利的强（共）carlaun立方体。作为应用，我们构造了三价源的抽象Auslander-Reiten平移和抽象Serre函子，并验证了相对分数Calabi-Yau性质。这是用来提供一个新的角度对五月的公理monoidal，三角范畴。
2015-08-26 math.AG math.AT math.CT
Up-to-homotopy algebras with strict units. (Extended abstract version.)
证明了非平凡元数为零的运算的极小模型a la Sullivan的存在性.所以具有严格单位的上至同伦代数就是这些极小模型上的运算代数。作为应用，我们给出了有理数上酉n-小盘算子形式的另一个证明。
2019-12-18 math.AT math.KT
Strict n-categories and augmented directed complexes model homotopy types
本文证明了严格$n$ -范畴的同伦范畴$1\leqslant n \leqslant \infty$和Steiner增广有向复形的同伦范畴都等价于同伦类型范畴。为了做到这一点，我们首先证明了一个抽象的结果，基于Fritsch和Latch的策略，给出了一个神经函子的充分条件，其值在单纯集上，在同伦范畴的水平上诱导等价。然后我们将这个结果应用到严格$n$ -范畴和增广有向复形上，我们定理的假设是由Ara和Maltsiniotis建立的.
2018-02-15 math.AT math.CT
Chern-Weil forms and abstract homotopy theory
我们证明了Chern-Weil形式是唯一与主G-丛上的联络相关联的自然微分形式。我们利用光滑流形上单纯层的同伦理论来表述定理并给出证明。其他论点来自经典的不变量理论。我们确定的Weil代数作为一个特定的单纯层的de Rham复形，并同样给出了一个新的解释Weil模型的等变de Rham理论。附录证明了多项式函子的集合论变换的一般定理。谨以此文纪念丹·奎伦。
2013-03-15 hep-th math.AT math.DG
Good Fibrations through the Modal Prism
同伦类型论是一种形式语言，用于抽象同伦理论--识别的研究。但是在未修正同伦类型论中，没有办法说这些标识来自于标识空间的路径连通点。换句话说，我们可以做抽象同伦理论，但不能做代数拓扑。Shulman的Real Cohesive HoTT通过引入一个将类型的空间结构与同伦结构联系起来的模态系统来解决这个问题。在本文中，我们发展了一个一般模态的模态纤维化理论，并将其具体应用于实衔接的形状模态。然后，我们给出的例子，模态纤维化在真正的凝聚力HoTT，并发展覆盖空间的理论。
2022-04-05 math.AT math.CT math.LO
The theory and practice of Reedy categories
本文的目的是揭开里德范畴公理在同伦理论中所扮演的角色。没有假设的先决条件超出了健康的胃口范畴理论的论点，我们提出了一些有用的技术成果，这是众所周知的民间传说，但很难在文献中找到精简的证明。虽然这里提出的结果并不新鲜，但我们的证明方法有些新颖。具体来说，我们减少了大量的艰苦的工作，涉及加权colimits和莱布尼茨（推出产品）建设更简单的计算。一般理论的发展与实例并行，我们用它来证明，熟悉的公式同伦极限和colimits确实有所需的性能。
2014-06-03 math.AT math.CT
Tilting theory for trees via stable homotopy theory
我们表明，变种的经典反射函子从ESTA表示论存在于任何抽象的稳定同伦理论，使他们可用，例如在任意的地面环，拟相干模的计划，在微分分次上下文中，在稳定的同伦理论以及在等变，motivic，和参数化的变体。作为这些等价的应用，我们获得了在所有这些情况下有效的树的抽象倾斜结果，从而推广了Happel的结果。这些反射函子的主要工具介绍的建设同伦满态的小范畴和一点扩张的小范畴，这两个启发类似的概念，在同调代数。
2015-11-01 math.AG math.AT math.CT
$\mathcal{S}$-categories, $\mathcal{S}$-groupoids, Segal categories and quasicategories
这些笔记是为我2003年6月底和7月初在哈根以及2003年9月在加那利群岛的拉古尼亚大学的一系列演讲准备的。他们的目的是（i）重新审视一些旧的材料抽象同伦和单纯丰富的范畴，这似乎是在今天的复苏的兴趣在该地区，并试图查看它在一个新的光，或者也许从新的方向;（ii）介绍西格尔类别和其他各种工具所使用的尼斯图卢兹集团的抽象同伦理论家和链接到一些旧的想法;（iii）介绍Joyal的准范畴，并说明该理论如何与Boardman和Vogt，Dwyer和Kan以及Cordier和Porter的一些旧思想联系起来;最后，向自己和读者提出许多问题。
2004-01-21 math.AT math.CT
Operads, homotopy theory and higher categories in algebraic quantum field theory
本章以非技术视角概述代数量子场论（AQFT）与operads、模型范畴、高阶范畴等抽象数学领域近期的交叉互动及研究动因。
2023-05-05 hep-th math-ph math.AT
Abstract tilting theory for quivers and related categories
我们推广的反射函子的建设从经典的表示论的箭图任意小范畴与自由附加的汇或源。这些反射态射诱导相应的表示论与任意稳定同伦理论的值之间的等价性，包括表示领域，环或计划，以及微分分级和谱表示。专门表示在一个领域和特定的形状，这恢复派生的等价Happel有限，非循环箭。然而，即使在一个领域，我们的主要结果导致新的衍生等价，例如不一定有限或非循环箭图。这里得到的结果依赖于仔细分析的相容性的粘合结构的小范畴同伦Kan扩展和同伦满态，以及对组合学的研究合并的类别。
2015-12-19 math.AT math.RT
On the $\infty$-topos semantics of homotopy type theory
本文以课程讲义形式综述同伦类型论的语义基础，介绍 Voevodsky 的单纯模型与 Shulman 将严格单价宇宙解释推广至任意 $\infty$-拓扑斯的成果。
2024-03-01 math.AT math.CT math.LO
Enriched Derivators
导子理论为同伦极限和余极限的计算提供了一个方便的抽象环境。在丰富同伦理论中，同伦（余）极限的类似物是加权同伦（余）极限。在这篇论文中，我们发展了一个关于导子的理论，更一般地说，我们发展了一个关于在monoidal导子E上的前导子的理论。在平行的非丰富的情况下，这些E-prederivator提供了一个框架，研究丰富的同伦理论的建设，特别是加权同伦（共）限制。作为E-（前）导子的先驱，我们研究了E-范畴，它是在与E相关联的双范畴Prof（E）上丰富的范畴。我们证明了一些关于E-范畴的基本结果，这些结果与经典的关于丰富范畴的结果是平行的。特别地，我们证明了一个E-范畴Yoneda引理，并研究了E-范畴的可表示映射。在任何E-范畴中，我们定义了加权同伦极限和余极限的概念。我们定义E-导子是E-范畴与一些进一步的性质，特别是，他们承认所有加权同伦（共）限制。我们表明，封闭的E-模Groth，Ponto和Shulman研究引起相关的E-导子，使理论的E-（前）导子捕捉这些例子。然而，通过在E-预导子的更一般的背景下工作，我们可以研究其他设置中的加权同伦（co）极限，特别是在并非所有加权同伦（co）极限都存在的设置中。利用E-范畴Yoneda引理，证明了E-预导子的一个表示定理。我们表明，我们可以使用这个结果来推导出封闭的E-模的可表示性定理，其基础范畴的可表示性结果。
2020-10-15 math.AT
The Adams isomorphism revisited
本文在等变可展示且等变半加法的全局范畴中建立抽象 Adams 同构，统一推广稳定同伦论、Mackey 函子、$G$-global 同伦论与 Kasparov 范畴中的既有结果。
2024-10-02 math.AT
Smooth Homotopy of Infinite-Dimensional $C^{\infty}$-Manifolds
本文利用同伦代数（或抽象同伦方法）研究了无穷维$C^\infty$ -流形的光滑同伦问题。更确切地说，我们讨论光滑的地图，部分，主丛，和规范变换。我们首先引入了遗传$C^\infty$ -仿紧性的概念以及$C^\infty$ -流形上的半经典性条件，这使得我们能够在局部参数中使用局部凸性。然后证明了对于$C^\infty$ -流形$M$和$N$，在$M$上的遗传$C^\infty$-仿紧性和半经典性条件下，$C^\infty(M,N)$的光滑奇异复形弱等价于$\mathcal{C}^0(M,N)$的普通奇异复形.我们接着将这个结果推广到$C^\infty$ -流形$M$上的纤维丛截面，在$M$上的条件相同。进一步，在$M$上相同的条件下，建立了李群$G$和$C^\infty$ -流形$M$上光滑主$G$-丛的单纯广群与$M$上连续主$G$ -丛的单纯广群之间的Dwyer-Kan等价性，并对主丛和规范变换的光滑结果进行了编码.为了证明，我们将$C^\infty$ -流形范畴$C^\infty$完全忠实地嵌入到拓扑空间范畴$\mathcal{D}$中，并通过对弧生成空间的模型范畴$\mathcal{D}$和模型范畴$\mathcal{C}^0$的同伦代数研究，发展了拓扑空间的光滑同伦理论.然后，遗传的$C^\infty$ -仿紧性和半经典性条件意味着$M$具有$\mathcal{D}$…
2020-02-10 math.AT
The stack of higher internal categories and stacks of iterated spans
在本文中，我们表明，两个结构形成堆栈：第一，作为一个变化的$\infty$ -拓扑，$\mathcal{X}$，Lurie的同伦理论的高阶范畴内部$\mathcal{X}$变化的方式，以形成堆栈的$\infty$ -范畴的所有$\infty$ -拓扑。其次，我们表明，Haugseng的建设高阶范畴的迭代跨度在一个给定的$\infty$ -拓扑（配备本地系统）可以用来定义各种堆栈上的$\infty$ -拓扑。作为这些结果的先决条件，我们讨论的属性，其中限制的$\infty$类继承的$\infty$类组成的图。例如，Riehl和Verity已经证明，拥有给定形状的（co）极限是遗传的。将他们的结果稍加推广，我们证明了具有给定类型的Kan扩张是遗传的，更一般地，函子的伴随性是遗传的。
2015-06-29 math.AT math.CT math.SG
Spectra and symmetric spectra in general model categories
(This是一个更新的版本;根据Voevodsky的想法，我们加强了我们的结果，使它们都适用于一种形式的动机同伦理论）。我们给出了两个一般的建设通道从不稳定到稳定的同伦，适用于已知的拓扑空间的例子，但也到新的情况下，如motivic同伦理论的计划。一个是基于标准的概念，光谱起源博德曼。它的输入是一个行为良好的模型范畴C和一个内函子G，推广了悬置。它的输出是一个模型范畴，G是其上的Quillen等价。在强假设下，该模型结构中的弱等价是稳定同伦同构的适当模拟。第二种构造是基于对称谱，并且只有当C具有G保持的某种幺半群结构时才有价值。在这种情况下，普通光谱一般不会有monoidal结构，但对称光谱会。我们的抽象方法使得构建对称光谱的稳定模型类别变得简单。我们研究这些稳定化的性质，最重要的是，我们表明，这两个不同的稳定化是奎伦等价的一些假设（也持有动机的例子）。
2000-06-09 math.AT math.KT
On k-invariants for $(\infty, n)$-categories
该研究证明$(\u221e,n)$-范畴的同伦$(m,n)$-范畴塔的逐层结构由k-不变量分类，类比空间经典Postnikov塔，其证明基于Postnikov型塔的抽象分析，还给出了$\u221e$-operad上代数及富化$\u221e$-范畴的k-不变量构造。
2020-11-25 math.AT math.CT
A Rose by Any Other Name Would Smell as Sweet: Categorical Homotopy Theory for Large Language Models
Adobe Research（Adobe研究院）；University of Massachusetts, Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）
针对LLMs对等价语义生成不同概率的问题，引入范畴同伦框架，利用范畴同伦技术捕捉LLM Markov category中的弱等价，为语言等价改写提供理论解决方案。
2025-08-07 cs.AI cs.CL math.AT
Simplicial Lusternik-Schnirelmann category
有限抽象单纯复形的单纯LS-范畴是一个新的强同伦型不变量，它用纯组合的术语定义，把图的荫度推广到任意单纯复形，并发展了Lusternik-Schnirelmann范畴经典理论中的所有代数拓扑机制.
2016-07-11 math.AT
A convenient category of locally preordered spaces
作为抽象时空同伦理论的一个实际基础，我们将一类紧偏序空间推广到一个方便的局部预序空间范畴。特别是，我们证明了我们的新范畴是笛卡尔封闭的，并且紧生成空间范畴的遗忘函子创建了所有的极限和余极限。
2008-12-06 math.AT
Characteristic classes of transitive Lie algebroids. Categorical point of view
演讲是在2011年8月23日在中国哈尔滨举行的“分析、拓扑与应用”国际会议上进行的。传递李代数胚有一些特殊的性质，可以把传递李代数胚看作是同伦函子的对象的元素。粗略地说，每个可迁李代数胚都可以描述为流形的切丛上的向量丛，并赋予其附加结构。因此，传递李代数胚允许构造由光滑流形的光滑映射生成的逆像。我的演讲的目的是使用K.Mackenzie（2005）的传递李代数胚的同伦分类，并在此基础上构造一个分类空间。这一目的的实现允许从类似于向量丛的经典抽象特征类的函子的自然变换的观点来描述传递李代数胚的特征类，并将它们与J.Kubarski（1991）从Chern-Weil同态导出的特征类进行比较。
2011-11-29 math.AT math.KT
Segal topoi and stacks over Segal categories
在数学AG/0207028中，我们开始研究赋予适当拓扑概念的高阶范畴上的高级层理论（即栈理论）：确切地说，我们定义了S-位和模型位的概念，以及它们上的栈的相关范畴。这使我们研究了\textit{model topos}的概念（最初是由于C. Rezk），Grothendieck topos概念的模型范畴版本。本文从（1-）Segal范畴出发，代替S-范畴和模型范畴，讨论了相似理论。我们介绍了西格尔拓扑结构，西格尔网站和堆栈的概念。我们定义了一个抽象的概念Segal拓扑，并将其与Segal类别的堆栈在Segal网站。我们比较Segal拓扑和模型拓扑的概念，表明这两种理论在某种意义上是等价的。然而，存在一个很好的Segal范畴之间的态射的Segal范畴，使我们能够改善在这种情况下的处理topoi。特别是，我们构造了2-Segal范畴的Segal拓扑和几何态射，我们提供了一个Giraud样的声明中的Segal拓扑Segal范畴。作为应用的一个例子，我们展示了如何重建一个拓扑空间，直到同伦从Segal拓扑的局部常数堆栈上，从而扩展了主要定理的Toen，“Vers une interpretation Galoisienne de la theorie de l 'homotopie”（出现在Cahiers de top。等几何差异猫）to the case案件of un-based基于sp…
2003-06-26 math.AG math.AT
Enhancement for categories and homotopical algebra
本文提出基于导出器概念的抽象同调理论，旨在以接近常规范畴论的方式实现导出范畴相干层的增强。
2026-02-23 math.AG math.AT math.CT
On Colimits and Model Structures in Various Categories of Manifolds
本文证明了多种流形范畴因缺乏有限余极限而无法构成模型范畴，并通过将其扩充至预层范畴，成功构造了模型结构，从而解决了一个涉及 Poincaré 空间的开放问题。
2024-05-24 math.AT
On the Goldman-Millson theorem for $A_\infty$-algebras in arbitrary characteristic
本文研究完备滤过 $A_\infty$-代数的形变理论，证明任意特征下的 Goldman–Millson 定理，刻画神经的同伦群，并在特征零下建立其与交换子 $L_\infty$-代数 Maurer–Cartan 集的同伦等价。
2023-06-05 math.AT math.QA math.RA
