许多组合数可以放置在下面的广义三角形阵列$[T_{n,k}]_{n,k\ge 0}$满足递归关系：\begin{equation*} T_{n,k}=λ(a_0n+a_1k+a_2)T_{n-1,k}+(b_0n+b_1k+b_2)T_{n-1,k-1}+\frac{d(da_1-b_1)}λ(n-k+1)T_{n-1,k-2} \end{equation*}与$T_{0,0}=1$和$T_{n,k}=0$，除非$0\le k\le n$适合$a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2,d$和$λ$。对于$n\geq0$，用$T_n(q)$表示第$n$行的生成函数。本文基于$\sum_{n\geq0}T_n(q)t^n$的Jacobi连分式表达式，给出了$q$的$\textbf{x}$-Stieltjes矩性质和$3$-$\textbf{x}$-log凸性的各种判别准则，其中$\textbf{x}$是由$q$和递推关系中出现的参数组成的一组待定元.借助Wang和Zhu [Adv. in Appl. Math.（2016）]的一个准则，我们证明了$T_{n,k}$的相应线性变换保持序列的Stieltjes矩性质。最后，我们给出了一些相关的例子，包括阶乘数，惠特尼数，斯特林置换，极大极小树和峰值统计。
英文摘要：
Many combinatorial numbers can be placed in the following generalized triangular array $[T_{n,k}]_{n,k\ge 0}$ satisfying the recurrence relation: \begin{equation*} T_{n,k}=λ(a_0n+a_1k+a_2)T_{n-1,k}+(b_0n+b_1k+b_2)T_{n-1,k-1}+\frac{d(da_1-b_1)}λ(n-k+1)T_{n-1,k-2} \end{equation*} with $T_{0,0}=1$ and $T_{n,k}=0$ unless $0\le k\le n$ for suitable $a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2,d$ and $λ$. For $n\geq0$, denote by $T_n(q)$ the generating function of the $n$-th row. In this paper, we develop various criteria for $\textbf{x}$-Stieltjes moment property and $3$-$\textbf{x}$-log-convexity of $T_n(q)$ based on the Jacobi continued fraction expression of $\sum_{n\geq0}T_n(q)t^n$, where $\textbf{x}$ is a set of indeterminates consisting of $q$ and those parameters occurring in the recurrence relation. With the help of a criterion of Wang and Zhu [Adv. in Appl. Math. (2016)], we show that the corresponding linear transformation of $T_{n,k}$ preserves Stieltjes moment properties of sequences. Finally, we present some related examples including factorial numbers, Whitney numbers, Stirling permutations, minimax trees and peak statistics.
Lattice paths and branched continued fractions: An infinite sequence of generalizations of the Stieltjes--Rogers and Thron--Rogers polynomials, with coefficientwise Hankel-total positivity
On a continued fraction expansion for Euler's constant
最近，A. I. Aptekarev和他的合作者发现了一系列有理逼近的近似欧拉常数$γ$定义的三阶齐次线性递归。本文用Meijer $G$ -函数和超几何型级数给出Aptekarev逼近的一个新的解释。这种方法使我们能够描述一个非常一般的建设，给出线性型1和$γ$与合理的系数。使用这种结构，我们发现新的有理逼近$γ$所产生的二阶非齐次线性递归多项式系数。这导致欧拉常数的连分数（虽然不是简单连分数）。这似乎是第一个非平凡的连分数展开收敛到欧拉常数次指数，其中的元素可以表示为一般模式。有趣的是，同样的齐次递归产生一个连分数的欧拉-Gompertz常数发现Stieltjes在1895年。
Hankel Continued fractions and Hankel determinants of the Euler numbers
欧拉数出现在$\tan(x)+\sec(x)$的泰勒展开式中。自Stieltjes以来，偶欧拉数的连分数和奇欧拉数的Hankel行列式分别得到了广泛的研究。然而，没有（混合）欧拉数的汉克尔行列式已获得和明确的计算。其原因是欧拉数的某些汉克尔行列式为零。这意味着欧拉数的Jacobi连分数不存在。本文用Hankel连分数代替$J$ -分式，绕过了这一障碍.因此，欧拉数的汉克尔行列式的显式公式被导出，以及涉及欧拉数的汉克尔连分数和汉克尔行列式的完整列表。最后，在我们的连分数的基础上，提出了一个新的欧拉数的$q$ -模拟$E_n(q)$.我们得到了$E_n(-1)$的一个显式公式，并证明了R. J. Mathar在这些数字上。
