Xizhi Liu, Jie Ma
A conjecture of Chung and Graham states that every $K_4$-free graph on $n$ vertices contains a vertex set of size $\lfloor n/2 \rfloor$ that spans at most $n^2/18$ edges. We make the first step toward this conjecture by showing that it holds for all regular graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
K_4-free graphs have sparse halves
该研究证明了无$K_4$图中必存在大小为顶点数一半的顶点集，其生成边数不超过顶点数平方的1/18，为图论中稀疏子图存在性问题提供了结论。
One of Erdos's conjectures states that every triangle-free graph on $n$ vertices has an induced subgraph on $n/2$ vertices with at most $n^2/50$ edges. We report several partial results towards this conjecture. In particular, we establish the new bound $\frac{27}{1024}n^2$ on the number of edges in general case. We completely prove the conjecture for graphs of girth $\geq 5$, for graphs with independence number $\geq 2n/5$ and for strongly regular graphs. Each of these three classes includes both known (conjectured) extremal configurations, the 5-cycle and the Petersen graph.
Sparse halves in dense triangle-free graphs
Erdinger证明了在$n$顶点上的每个无三角形图$G$都包含一组至多跨越$n^2 /50$边的$\lfloor n/2 \rfloor$顶点. Krivelevich证明了最小度至少为$\frac{2}{5}n$的图的猜想。Keevash和Sudakov将这个结果改进为平均度至少为$\frac{2}{5}n$的图。我们加强这些结果表明，猜想持有的最低程度至少$\frac{5}{14}n$和图的平均程度至少$(\frac{2}{5} - \varepsilon)n$的一些绝对$\varepsilon >0$的图。此外，我们证明了猜想是正确的，图的编辑距离接近的Petersen图。
Dense halves in balanced 2-partition of K4-free graphs
本文针对 Balogh 等人关于 K4-free 图平衡 2-划分中最大边数不超过 n^2/16 的猜想，构造了反例族，并将上界改进为 0.074n^2。
Proper conflict-free choosability of sparse graphs with girth at least seven
本文证明围长至少7且最大平均度小于8/3的图可正常无冲突（度+2）选择着色，并改进平面图围长界至8。
Dynamic choosability of triangle-free graphs and sparse random graphs
图$G$的\textit{$r$-dynamic choosability}，写作${\rm ch}_r(G)$，是最小的$k$，使得每当每个顶点被分配至少$k$颜色的列表时，可以从列表中选择适当的着色，使得每个顶点$v$至少有不同颜色的$\min\{d_G(v),r\}$邻居。令${\rm ch}(G)$表示$G$的选择数。本文证明了当$\frac{Δ(G)}{δ(G)}$有界时，${\rm ch}_r(G)\leq (1+o(1)){\rm ch}(G)$是有界的.我们还证明了存在一个常数$C$，使得对于具有$\frac{2}{n}<p\leq \frac{1}{2}$的随机图$G=G(n,p)$，它保持${\rm ch}_2(G)\leq {\rm ch}(G) + C$，渐近几乎必然。如果$G$是无三角正则图，则${\rm ch}_2(G)\leq {\rm ch}(G)+86$成立。
A {\it proper conflict-free $c$-coloring} of a graph is a proper $c$-coloring such that each non-isolated vertex has a color appearing exactly once on its neighborhood. This notion was formally introduced by Fabrici et al., who proved that planar graphs have a proper conflict-free 8-coloring and constructed a planar graph with no proper conflict-free 5-coloring. Caro, Petruševski, and Škrekovski investigated this coloring concept further, and in particular studied upper bounds on the maximum average degree that guarantees a proper conflict-free $c$-coloring for $c\in\{4,5,6\}$. Along these lin…
List coloring $C_3$-free planar graphs with a sparse matching of restricted lists
本文针对不含三角形的平面图，证明了当接收3元列表的顶点集诱导稀疏匹配时，Hu和Zhu提出的列表着色猜想成立，为该猜想提供了新的关键佐证。
Sparse hypergraphs with low independence number
设K_4表示4点完全3一致超图。Ajtai，Erdés，Komlós，and Szemerédi（1981）提出了一个问题：是否存在一个趋于无穷大的函数ω（d），使得每一个3-一致无K_4-顶点且平均度为d的超图的独立数至少为ω（d）N/d^{1/2}。我们通过构造一个独立数不超过2N/d^{1/2}的3-一致无K_4超图来回答这个问题。给出了几个相关定理的反例，并改进了某些超图Ramsey数的下界.
The typical structure of sparse $K_{r+1}$-free graphs
组合学研究的两个中心主题是所谓的随机图的演化，由Erdans和Rényi的开创性工作引入，以及$H$ -free图族，即不包含与给定（通常很小）图$H$同构的子图的图。在这两个领域的交界处，一个被广泛研究的问题是确定具有$n$顶点和$m$边的典型的无$H$图的结构如何随着$m$从$0$增长到$\text{ex}(n,H)$而变化。在本文中，我们解决了这个问题的情况下，当$H$是一个团，推广的经典结果Kolaitis，Prömel，和Rothschild。特别是，我们证明了，对于每个$r \ge 2$，有一个明确的常数$θ_r$，使$m_r = θ_r n^{2-\frac{2}{r+2}} (\log n)^{1/\left[\binom{r+1}{2}-1\right]}$，以下成立的每一个积极的常数$\varepsilon$。若$m \ge (1+\varepsilon) m_r$，则几乎所有不含$K_{r+1}$且有$m$边的$n$ -顶点图都是$r$ -部图，而若$n \ll m \le (1-\varepsilon)m_r$，则几乎所有不含$r$ -部图都是$r$ -部图.
Sparse Sets in Triangle-free Graphs
该研究探讨无三角形图中最大k-稀疏集的阶数，通过直接证明与图枚举算法得到多组最优结果、相关缺陷Ramsey数取值及极图，还分析了稀疏集的增长速率。
$K_{4}$-Minor-Free Induced Subgraphs of Sparse Connected Graphs
我们证明了每一个具有$m$边的连通图$G$包含至多$\frac{3}{16}(m + 1)$顶点的集合$X$，使得$G-X$没有$K_4$子图，或者等价地，至多$2$有树宽.这个界限是最好的。连通性是必不可少的：如果$G$未连接，则只能保证$\frac{1}{5}m$的一个界限。
Sparse graphs with bounded induced cycle packing number have logarithmic treewidth
该研究证明了不含k个两两不交且不相邻圈的稀疏图具有对数级树宽，且该界是紧的，由此推出这类图上多个核心NP完全问题可在多项式或拟多项式时间内求解。
Sparse induced subgraphs in $P_7$-free graphs of bounded clique number
研究问题：在排除$P_7$作为诱导子图且 clique 数有限的图中寻找最大的稀疏诱导子图；核心方法：利用CMSO$_2$逻辑定义的性质；主要贡献：证明所有此类问题在$P_7$-free图中具有多项式时间可解性。
Sparse induced subgraphs in P_6-free graphs
该研究解决无P6图中特定稀疏诱导子图相关问题的多项式可解性，通过推广势极大团框架，仅需列出carver即可求解，推广了此前无P5图的相关成果。
On Sparse Covers of Minor Free Graphs, Low Dimensional Metric Embeddings, and other applications
本文为无 $K_r$ 子式图构造参数优异的稀疏覆盖，并据此得到低维 $\ell_\infty$ 嵌入及无感知批量采购问题的紧 $O(\log n)$ 近似算法。
A Stability Result for Sparse Convolutions
我们将在这篇文章中建立一个无挠加性（离散）阿贝尔群上稀疏卷积的稳定性结果。无挠群上的稀疏卷积没有消去，因此允许稳定性，即具有通用下界$α=α(s,f)$的内射性，仅取决于两个输入序列的支持的基数$s$和$f$。更准确地说，我们表明，$α$只依赖于$s$和$f$，而不是在环境尺寸。这一说法是从一个减少的论点，其中涉及到一个压缩到一个小的集合，保持附加结构的支持。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。