The Generalized Independent and Dominating Set Problems on Unit Disk Graphs
本文研究了单位圆盘图上的最大独立集和最小支配集问题的一个推广形式，即正整数$d>0$的最大$d$-距离独立集问题和最小$d$ -距离支配集问题.首先证明了最大$d$ -距离独立集问题和最小$d$ -距离支配集问题都属于NP-难问题。接下来，我们提出了一个简单的多项式时间常数因子近似算法和PTAS的问题。
2020-06-27 cs.CC cs.DS
Grouped Domination Parameterized by Vertex Cover, Twin Cover, and Beyond
图$G$的控制集$S$称为$r$ -分组控制集，如果$S$可以划分为$S_1,S_2,\ldots,S_k$，使得每个单元$S_i$的大小为$r$，并且由$S_i$诱导的$G$的子图是连通的. $r$ -分组控制集的概念推广了控制集的几个研究得很好的变体，并要求连通分量的大小，例如普通控制集（$r=1$），成对控制集（$r=2$）和连通控制集（$r$是任意的，$k=1$）。本文研究了$r$ -群控制集的计算复杂性，即判定给定图是否存在最多含$k$单元的$r$ -群控制集的问题.对于一般的$r$，由于连通支配集的硬度是遗传的，所以在各种意义上都很难解决这个问题。因此，我们关注的情况下，$r$是一个常数或参数，但我们看到，每个固定的$r>0$的问题仍然很难解决。从硬度，我们考虑了参数化的复杂性，以及研究图的结构参数。我们首先看到它对于$r$和树宽是固定参数易处理的，因为对于常数$r$的$r$ -分组支配的条件可以表示为一元二阶逻辑（mso 2）。这是个好消息，但运行时间并不实际。然后我们设计了一个$O^*(\min\{(2τ(r+1))^τ,(2τ)^{2τ}\})$ -时间算法的一般$r\ge 2$，其中$τ$是双覆盖数，这是一个参数之间的顶点覆盖数和candle-width。对于成对支配集和三重支配集，即，$r \in \{2,3\}$，可以加快算法的运行速度，使其运行时间变为$O…
2023-02-14 cs.DS
Optimal Sensor Placement in Power Grids: Power Domination, Set Covering, and the Neighborhoods of Zero Forcing Forts
为了监控整个电网的电气活动并减少停电，可以安装称为相量测量单元的传感器。由于实施成本的原因，期望在确保可以有效地监测电网的同时最小化部署的传感器的数量。这个优化问题激发了图论的幂支配集问题。在本文中，我们提出了一个新的整数规划识别最小功率控制集，制定了一个集覆盖问题。这个问题的约束对应于迫零的邻域;我们研究了它们的结构特性，并表明它们可以分离，从而可以通过行生成来解决所提出的模型。在几个计算实验中，所提出的方法始终表现出一个数量级的改善，在运行时的性能的建议和现有的方法进行了比较。
2020-06-04 cs.DM cs.DS math.CO
Firefighter Problem with Minimum Budget: Hardness and Approximation Algorithm for Unit Disk Graphs
单位圆盘图是表示圆盘图和区间图的交集的图的集合。这些图是非常重要的，由于它们的结构与无线通信网络的相似性。单位圆盘图上的消防员问题是一个有趣的问题，因为它模拟了病毒在无线网络中的传播，并要求一个解决方案来阻止它.在本文中，我们考虑了MIN-BUDGET消防员问题，目标是确定在每个时刻所需的消防员的最小数量和节点来放置它们，以保存给定图的给定顶点集和火灾爆发节点.证明了单位圆盘图上的最小预算消防员问题是NP-难的。我们还提出了一个常数因子近似算法。
2022-03-29 cs.CC cs.DM cs.DS
EPTAS and Subexponential Algorithm for Maximum Clique on Disk and Unit Ball Graphs
一个（单位）圆盘图是平面上闭（单位）圆盘的交图。大约三十年前，一个优雅的多项式时间算法被发现\textsc{Maximum Clique}的单位盘图[克拉克，Colbourn，约翰逊;离散数学'90]。从那时起，它一直是一个有趣的开放性问题，是否可追溯性可以扩展到一般的磁盘图。我们证明了两个奇圈的不交并不是一个圆盘图的补图，也不是一个单位（三维）球图的补图。从这一事实和现有的结果，我们得到一个简单的QPTAS和一个次指数算法运行的时间$2^{\tilde{O}(n^{2/3})}$为\textsc{Maximum Clique}上的磁盘和单位球图。然后，我们得到了一个随机EPTAS计算图的独立数没有不相交的两个奇循环作为一个诱导子图，有界VC-维，和线性独立数。这，结合我们的结构结果，产生一个随机EPTAS的\textsc{Max Clique}上的磁盘和单位球图。单位球图上的\textsc{Max Clique}等价于给定$\mathbb R^3$中的点的集合，找到直径至多为某个固定值的点的最大子集。与此形成鲜明对比的是，球图上的\textsc{Maximum Clique}和单位$4$维球图，以及填充椭圆（甚至接近单位圆盘）或填充三角形的相交图不太可能有这样的算法。事实上，我们表明，对于所有这些问题，有一个常数比的近似，甚至不能达到时间$2^{n^{1-\varepsilon}…
2021-10-28 cs.CC cs.CG cs.DS
Strongly Hyperbolic Unit Disk Graphs
欧氏单位圆盘图类是一类最基本、研究最多的图类，它的几何基础是几何。在本文中，我们确定这一类作为一个特殊的情况下，在更广泛的类双曲单位盘图，并介绍强双曲单位盘图作为一个自然的对应的欧几里德变体。与欧几里得单位圆盘图所表现出的网格状结构相反，强双曲网络具有层次结构，这在复杂的现实世界网络中也可以观察到。我们研究了强双曲单位圆盘图的基本性质，包括邻接和团的形成，并利用衍生的见解来证明该类对于图形算法的开发和分析是有用的。具体来说，我们开发了一个简单的贪婪路由方案，并分析其性能强双曲单位盘图，以证明路由可以更有效地进行这样的网络比一般。
2022-12-15 cs.DS
Subcoloring of (Unit) Disk Graphs
本文研究（单位）圆盘图的子着色问题，证明单位圆盘图子色数可在多项式时间内3-近似，给出若干NP困难性结果，并证明一般圆盘图存在O(log^3 n)种颜色的子着色及O(log^2 n)近似算法。
2025-06-24 cs.CC cs.CG cs.DS
Efficient sub-5 approximations for minimum dominating sets in unit disk graphs
单位圆盘图是平面上n个全等圆盘的交图。单位圆盘图的控制集由于在无线自组织网络中的应用而得到了广泛的研究。由于单位圆盘图的最小支配集问题是NP-难的，文献中已经提出了许多近似算法，包括一些PTAS。然而，自从1995年提出线性时间5-近似算法以来，缺乏获得更好近似因子的有效算法引起了人们的关注。我们引入了一个线性时间O（n+m）的近似算法，以通常的邻接表示的图作为输入和输出的44/9-近似。这个近似因子也是通过第二个算法来实现的，该算法将图形的几何表示作为输入，并且无论边的数量如何都在O（n log n）时间内运行。此外，我们提出了一个43/9-近似，它可以在O（n^2 m）时间内获得，只需给出图的邻接表示。值得注意的是，我们的算法得到的支配集也是独立集。
2014-01-28 cs.DS
Minimum clique partition in unit disk graphs
最小团划分（MCP）问题是将给定图的顶点集划分为最小数目的团的问题。给定平面中的$n$点，相应的单位圆盘图（UDG）将这些点作为顶点，并且边连接距离至多为1的点。MCP在单位圆盘图是已知的NP-难和几个常数因子近似是已知的，包括最近的PTAS。本文提出了两种改进的单位圆盘图最小团划分的近似算法：（I）一种按时间运行的多项式时间近似算法（PTAS）$n^{O(1/\eps^2)}$。这改进了以前的PTAS与$n^{O(1/\eps^4)}$运行时间\cite{PS09}。(II)近似比为2.16的随机二次时间算法。这改进了$O(n^2)$运行时间为\cite{CFFP04}的比率3算法。
2009-09-08 cs.CG cs.DS
Balanced Line Separators of Unit Disk Graphs
我们证明了单位圆盘相交图的图分离定理的一个几何版本：对于平面中的任何$n$单位圆盘集合，存在一条线$\ell$，使得$\ell$与至多$O(\sqrt{(m+n)\log{n}})$圆盘相交，并且由$\ell$确定的每个半平面至多包含集合中的$2n/3$单位圆盘，其中$m$是相交圆盘对的数目.我们还表明，一个轴平行线相交$O(\sqrt{m+n})$磁盘存在，但每个半平面可能包含多达$4n/5$磁盘。我们给出了一个几乎紧的下限（亚对数因子），我们的方法，也表明，没有线分离器的次线性大小的$n$存在，当我们看磁盘的任意半径，即使当$m=0$。证明是建设性的，并建议在线性时间内运行的简单算法。实验结果表明，在随机情况下，该方法优于Fox和Pach（其分隔符大小为$O(\sqrt{m})$）方法.
2019-08-17 cs.CG cs.DM cs.DS
Unit-Disk Range Searching and Applications
给定平面中$n$点的集合$P$，我们考虑计算查询单元盘中$P$的点数的问题（即，所有查询盘具有相同的半径）。我们表明，在平面上的单纯形范围搜索的主要技术可以适应这个问题。例如，通过修改Matoušek的结果，我们可以构建$O(n)$空间的数据结构，以便每个查询都可以在$O(\sqrt{n})$时间内得到回答。我们的技术导致其他几个经典问题的改进，如批量范围搜索，计数/报告单位圆的相交对，距离选择，离散2-中心等。例如，给定一组$n$单位圆盘和平面中的一组$n$点，批量范围搜索问题是计算每个圆盘中的点数。1997]在$O(n^{4/3}\log n)$时间内解决了这个问题，而我们的新算法在$O(n^{4/3})$时间内运行。
2022-04-19 cs.CG cs.DS
Shortest Paths in Intersection Graphs of Unit Disks
设$G$是由位置已知的$n$圆盘定义的平面中的单位圆盘图。对于$G$不加权的情况，我们给出了一个在$O(n\log n)$时间内从给定源计算最短路径树的简单算法。对于$G$加权的情况下，我们表明，从一个给定的源的最短路径树可以在$O(n^{1+\varepsilon})$时间计算，提高了以前的最佳时间界的$O(n^{4/3+\varepsilon})$。
2014-11-17 cs.CG cs.DM cs.DS
Evacuating from ell_p Unit Disks in the Wireless Model
Czyzowicz等人首先介绍并研究了无线模型中从（欧几里得）单位圆盘疏散2个机器人的搜索型问题。[DISC'2014]。从那时起，这个问题已经看到了一长串的后续结果有关的变化以及上下限的改进。所有已建立的结果在该地区研究这2维搜索型问题在欧几里德度量空间的搜索空间，即单位盘，享有显着的（度量）对称性。我们发起和研究的问题，疏散2机器人在无线模型中的$\ell_p$单位磁盘，$p \in [1,\infty)$，特别是机器人的移动测量在底层度量空间。据我们所知，这是第一次研究的搜索型问题与移动代理在更一般的度量空间。这个问题特别具有挑战性，因为甚至$\ell_p$单元盘的圆周也是技术研究的主题。在我们的主要结果中，在识别和利用$\ell_p$单位盘的非常少的对称性之后，我们设计了随$p$变化的\emph{optimal evacuation algorithms}。我们的主要技术贡献是双重的。首先，在我们的上限结果，我们提供（近）封闭的公式，我们的算法的最坏情况下的成本。第二，也是最重要的，我们的下限的论点减少到一个新的观察凸几何分析之间的权衡弧和弦长度的$\ell_p$单位磁盘作为端点的弧（弦）改变周围的磁盘的周边位置，我们相信这是有趣的。我们的部分论点有关的后一个属性依赖于计算机辅助数值验证，可以做非极端值的$p$。
2021-08-05 cs.DM cs.DS
ETH-Tight Algorithm for Cycle Packing on Unit Disk Graphs
本文提出单位圆盘图上环打包问题的 2^{O(√k)}n^{O(1)} 时间算法，改进先前结果并在指数时间假说下达到最优。
2024-03-18 cs.CG cs.DS
Shortest Path Separators in Unit Disk Graphs
本文提出单位圆盘图中基于两条最短路径及其1跳邻居的平衡分隔符定理，改进了先前需移除3跳邻域的结果，并利用Delaunay三角剖分及推广的Lipton-Tarjan定理进行证明。
2024-07-22 cs.CG cs.DS
Dynamic parameterized problems on unit disk graphs
本文针对动态单位圆盘图上的基本参数化问题，首次提出高效数据结构，实现$k$-路径/环的$2^{O(\sqrt{k})}$更新时间和$O(k)$查询时间，其他问题支持$O(\log n)$更新和$2^{O(\sqrt{k})}$查询。
2024-09-20 cs.CG cs.DS
