Tug-of-war games with varying probabilities and the normalized $p(x)$-Laplacian
我们研究了一个具有不同概率的拔河游戏。特别地，我们证明了博弈的值是局部渐近Hölder连续的。我们还证明了对策值的存在性和唯一性。作为应用，我们证明了博弈的价值函数收敛于规范化$p(x)$ -Laplacian的解。
2018-07-19 math.AP
Tug-of-war games associated with boundary value problems involving derivatives
该研究聚焦一类可阐释1<p<2时规范化p-Laplace方程边值问题的带噪声拔河博弈，分析其值函数的边界正则性及向粘性解的收敛性，为相关偏微分方程问题提供博弈论视角的研究支撑。
2025-08-04 math.AP
Tug-of-war games related to $p$-Laplace type equations with zeroth order terms
Soongsil University（崇实大学）
本文研究了与$ p $-拉普拉斯类型方程相关的拔河游戏模型，探讨了游戏价值函数的存在性、唯一性和正则性，以及模型PDE解的性质。
2025-12-25 math.AP
Time-dependent tug-of-war games and normalized parabolic $p$-Laplace equations
本文研究了不定常拔河游戏的价值函数。我们首先证明了价值函数的存在性和唯一性，并验证了这些博弈值满足一个动态规划原则。利用博弈值存在性证明中的论证，我们还可以推导出当$T \to \infty$。此外，我们还研究了博弈值的边界正则性。然后，基于值函数的正则性结果，我们推导出博弈值收敛于规范化抛物型$p$ -Laplace方程的黏性解。
2021-04-05 math.AP
Asymptotic mean value formulas, nonlocal space-time parabolic operators and anomalous tug-of-war games
分数阶热算子$(\partial_t-Δ_x)^s$和连续时间随机游动（CTRW）是描述复杂反常系统的有趣而复杂的数学模型。在本文中，我们证明了关于$(\partial_t-Δ_x)^s$的函数的渐近平均值表示公式，我们引入了新的非局部，非线性抛物型运营商有关的拔河占等待时间和时空耦合。这些非局部的非线性抛物型算子和方程可以看作是演化无穷拉普拉斯算子的非局部形式。
2022-01-19 math.AP
Gradient and Lipschitz estimates for tug-of-war type games
定义了一个随机步长拔河博弈，证明了值函数的梯度几乎处处存在。我们还证明了值函数的梯度是一致有界的，并且弱收敛于相应的$p$ -调和函数的梯度.此外，我们建立了一个改进的Lipschitz估计时，边界值接近一个平面。这种估计在偏微分方程的高阶正则性理论中起着关键作用。的证据是基于取消和耦合的方法，以及改进版本的缸行走参数。
2020-04-23 math.AP
An existence result for the infinity laplacian with non-homogeneous Neumann boundary conditions using Tug-of-War games
在本文中，我们展示了如何使用拔河比赛获得黏性解的存在性无穷大拉普拉斯方程的非齐次混合边界条件。对于Lipschitz正函数$g$，存在混合边值问题的黏性解$$ \{\begin{array}{ll} \displaystyle -Δ_{\infty}u(x)=0\quad & \text{in} Ω, \displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}(x)= g (x)\quad & \text{on} Γ_N, \displaystyle u(x)= 0 \quad & \text{on} Γ_D. \end{array}. $$
2014-02-25 math.AP
Non-Local Tug-of-War and the Infinity Fractional Laplacian
受[12]中研究的“拔河”游戏的启发，我们考虑了游戏的“非局部”版本，如下所示：在每一步，两个玩家分别选择一个方向，然后，而不是抛硬币，以决定选择哪个方向，然后移动固定量$ε>0$（如在经典情况下所做的），它是一个$s$稳定的Levy过程，它同时选择行进的方向和距离。从这个博弈出发，我们推导出一个确定性的非局部积分微分方程，我们称之为“无穷分数拉普拉斯”。我们研究的存在性，唯一性和规律性，无论是狄利克雷问题和双障碍问题，这两个问题有一个自然的解释为“拔河”游戏。
2011-05-03 math.AP
Random walks and random tug of war in the Heisenberg group
结合某些随机过程的动态规划原理，研究了第一海森堡群$\mathbb{H}$上的$\mathbf{p}$ -调和函数的均值性质.我们实现的方法Peres-Scheffield提供的子椭圆$\mathbf{p}$ -拉普拉斯算子的博弈论解释;和Manfredi-Parviainen-Rossi通过渐近均值展开来表征其黏性解。
2019-04-26 math.AP
A mixed problem for the infinity laplacian via Tug-of-War games
本文证明了一个函数$ u\in\mathcal{C}(\barΩ)$是\cite{PSSW}中描述的拔河游戏的连续值当且仅当它是具有混合边界条件{-Δ_{ \infty }u（x）=0 \quad & \text{in} Ω，\frac{\partial u}{\partial n}（x）= 0 \quad & \text{on} Γ_N，u（x）=F（x）\quad & \text{on} Γ_D.利用\cite{PSSW}中的结果，可以得出这个粘性偏微分方程问题有唯一解，它是边界数据$ F:Γ_D\to\R $的整个$\barΩ$（在\cite{Aronsson}和\cite{PSSW}的意义下）的唯一{ \it绝对最小化Lipschitz扩张}.
2009-07-06 math.AP
Tug-of-War games and parabolic problems with spatial and time dependence
在本文中，我们使用概率参数（拔河游戏）获得黏性解的存在性的抛物型问题的形式$$ {cases} K_{(x,t)}(D u)u_t (x,t)= \frac12 <D^2 u J_{(x,t)}(D u),J_{(x,t)}(D u) (x,t) &{in} Ω_T, u(x,t)=F(x)&{on}Γ, {cases} $$，其中$Ω_T=Ω\times(0,T]$和$Γ$是它的抛物边界。这个问题可以被看作是一个版本的空间和时间依赖的无限拉普拉斯算子，$ u_t (x,t)= <D^2 u (x,t) \frac{D u}{|Du|} (x,t),\, \frac{D u}{|Du|} (x,t)>$的发展问题。
2012-08-30 math.AP
Uniform measure density condition and game regularity for tug-of-war games
我们发现，一个统一的测量密度条件意味着游戏的规律性，所有$2<p<\infty$在一个随机对策称为“拔河噪声”。证明利用适当的选择策略相结合的估计相关联的停时和密度估计的总和独立和同分布的随机向量。
2016-07-06 math.AP math.PR
Discrete approximations to the double-obstacle prtoblem, and optimal stopping of tug-of-war games
研究了p-Laplace算子p2 [2;1]的双障碍问题.我们证明了对于Lipschitz边界数据和Lipschitz障碍，黏性解是唯一的，并且与变分解一致。它们也是离散最小-最大问题的解的统一极限，可以解释为适当的有噪声的拔河游戏的动态规划原则。在这些博弈中，双方参与人除了选择自己的策略外，还可以选择停时。双障碍问题的解决方案是这些游戏的值的限制，当控制令牌的位置的单次移动的步长收敛到0。我们提出了一个数值方案的基础上观察，并显示它是如何工作的障碍和边界数据的一些例子。
2015-11-05 math.AP
Consistency of tug-of-war type operators on random data clouds
本文研究随机数据云上几何图中的拔河型算子及相关 Dirichlet 问题，通过证明算子一致性，确立数据点增多、步长缩小时值函数向模型问题的收敛关系。
2025-07-24 math.AP math.PR
Tug-of-war games related to oblique derivative boundary value problems with the normalized $p$-Laplacian
本文针对归一化$p$-拉普拉斯算子的斜导数边值问题，通过“收缩拔河”构造相关随机游戏，研究其值函数的存在性、唯一性、正则性和收敛性，为该问题提供博弈论解释。
2024-11-27 math.AP
Tug-of-war with noise and an invariance of p-harmonic functions under boundary perturbations
在本文中，我们提供了一个新的结果$p$ -调和函数的不变性下的边界扰动，通过使用拔河噪声;概率解释的$p$ -调和函数介绍了Peres-Sheffield在\cite{ps}。作为主要结果，当$E\subset\bo $可数且$f\in C(\bo)$可数时，我们给出了$E$的一个充要条件，保证了当$g=f$在$\bo\setminus E$上时，$H_g=H_f$为$E$.这里，$H_f$和$H_g$表示$f$和$g$的Perron解。事实证明，$E$应该是$p$ -关于$Ω$的调和测度为零。因此，我们分析了$p$ -调和测度零的可数集的结构。特别地，我们给出了$p$ -调和测度的次可加性的一些结果和$p$ -调和测度的不变性结果。此外，本文的结果解决了Björn \cite{Bjorn}在无权$\R^n$情形下提出的扰动点问题.
2010-03-23 math.AP
Connections between coupling and Ishii-Lions methods for tug-of-war with noise stochastic games
本文梳理了带噪声拔河随机博弈中耦合方法与Ishii-Lions方法两种正则性方法的联系，分别应用于博弈与$p$-拉普拉斯方程粘性解。
2025-01-23 math.AP math.PR
Discrete infinity Laplace equations on graphs and tug-of-war games
本文研究有限宽度图上的离散无穷拉普拉斯方程 Dirichlet 问题，利用 Perron 方法与比较原理证明有界解存在唯一性，并建立其与拔河博弈、Liouville 性质及规范化方程的联系。
2023-11-03 math.AP
A Projected Tug-of-War Game for the Regularized $p$-Laplacian
University of Pittsburgh（匹兹堡大学）
本文通过拔河游戏解释正则化p-拉普拉斯方程，提出线性提升方法，证明解的存在性、唯一性和可测性，并建立粘性解的收敛性。
2026-07-02 math.AP
Random Tug of War games for the ${\mathbf p}$-Laplacian: ${\mathbf{1<p<{\boldsymbol \infty}}}$
我们提出了一个新的有限差分近似的Dirichlet问题的齐次$\mathbf{p}$ -拉普拉斯方程上的$N$维域，与拔河游戏的噪声。我们的游戏和相关的平均值的扩展，我们开发，叠加的“确定性平均”"$\frac{1}{2}(\inf +\sup)$“”采取球，与"随机平均“”$\fint$“，采取$N$维椭球体的纵横比取决于$N,\mathbf{p}$和其方向跨越所有方向，同时确定$\inf / \sup$。我们证明了相关动态规划原理的唯一解$u_ε$对于连续边界数据是自动连续的，并且与定义良好的博弈值相一致。因此，我们的博弈具有最小-最大属性：在一个参与者的策略上最大化结果和在对手的策略上最小化结果的顺序是无关紧要的。我们进一步证明了满足外部螺旋条件的域在这种情况下是博弈正则的，即族$\{u_ε\}_{ε\to 0}$一致收敛到Dirichlet问题的唯一粘性解.
2019-10-27 math.AP
Uniqueness of values of Aronsson operators and running costs in "tug-of-war" games
设$A_H$是由$L^\infty$变分问题、二人对策问题、控制问题等中的Hamilton $H(x,z,p).$ Aronsson算子所对应的Aronsson算子，本文证明了在适当的条件下，如果$u\in W^{1,\infty}_{\rm loc}(Ω)$同时是$Ω$中的方程$A_H(u)=f(x)$和$A_H(u)=g(x)$的粘性解，在许多有趣的情况下，假设$u\in W_{loc}^{1,\infty}(Ω)$可以放宽为$u\in C(Ω)$。此外，我们证明，如果$f,g,u\in C(Ω)$和$u$同时是一个粘性解的方程${Δ_\infty u\over |Du|^2}=-f(x)$和${Δ_{\infty}u\over |Du|^2}=-g(x)$在$Ω$然后$f=g.$这回答了一个问题提出的佩雷斯，施拉姆，谢菲德和威尔逊[PSSW]关于是否唯一的价值函数确定运行成本的“拔河”游戏。
2009-06-03 math.AP
Tug-of-war and infinity Laplace equation with vanishing Neumann boundary condition
我们研究了一个版本的随机“拔河”游戏，发挥图和光滑域，与空的终态。我们证明了，当运行支付函数被移动一个适当的常数，游戏的值在n步后收敛的情况下，连续的情况下和有限的情况下的循环图。利用这一定理，我们证明了具有零Neumann边界条件的无穷Laplace方程解的存在性。
2011-09-22 math.AP math.PR
The obstacle problem for the $p$-laplacian via optimal stopping of Tug-of-War games
我们提出了一种概率方法来解决$p$ -Laplace算子的障碍问题。通过运行由拔河游戏加上噪声确定的过程来近似解，并使步长为零，这与布朗运动由随机游动近似的情况不同。不是在到达边界时停止该过程，而是通过最大化所有可能的停时来获得值函数，所述停止时间小于域的退出时间。
2015-11-22 math.AP math.PR
A limiting free boundary problem with gradient constraint and Tug-of-War games
在这篇手稿中，我们处理的$p-$拉普拉斯型（$2 \leq p< \infty$）：\begin{equation*} -Δ_p u(x) + λ_0(x)χ_{\{u>0\}}(x) = 0 \quad \mbox{in} \quad Ω\subset \mathbb{R}^N, \end{equation*}与指定的Dirichlet边界数据的椭圆自由边界问题的解的正则性问题和渐近行为（$p \to \infty$），其中$λ_0>0$是一个有界函数和$Ω$是一个经常性的区域。首先，我们证明了任何家庭的解决方案$(u_p)_{p\geq 2}$的$p\to \infty$的收敛性，以及我们得到相应的极限算子（在非发散形式）统治的极限方程，$$ \left\{ \begin{array}{rcrcl} \max\left\{-Δ_{\infty} u_{\infty}, \,\, -|\nabla u_{\infty}| + χ_{\{u_{\infty}>0\}}\right\} & = & 0 & \text{in} & Ω\cap \{u_{\infty} \geq 0\} \\ u_{\infty} & = & g & \text{on} & \partial Ω. \end{array} \right. $$接下来，我们得到这个极限问题的解决方案的唯一性与一些弱的几何和…
2017-12-18 math.AP
A continuous time tug-of-war game for parabolic $p(x,t)$-Laplace type equations
我们制定了一个随机微分对策在连续时间，代表了唯一的黏性解方案的一个抛物型偏微分方程的终值问题，涉及规范化的$p(x,t)$ -拉普拉斯算子。我们的游戏是制定的方式，涵盖了全方位的$1<p(x,t)<\infty$。在适当的假设下，证明了该方程的黏性解在整个空间中的唯一性。
2018-02-02 math.AP math.PR
Notes on tug-of-war games and the p-Laplace equation
本讲义梳理非线性 p-Laplace 方程与带噪声拔河随机博弈的联系，并介绍椭圆、抛物情形及正则性理论的相关研究入口。
2023-06-03 math.AP math.PR
Tug-of-war, market manipulation and option pricing
我们建立了一个基于拔河博弈的期权定价模型。这两个球员零和随机微分对策制定的背景下，多维金融市场。发行者和持有者试图操纵资产价格过程，以最大化和最小化预期的贴现回报。我们证明了这个博弈有一个值，并且这个值函数是一个含有非线性完全退化无穷Laplace算子的抛物型偏微分方程终值问题的唯一黏性解.
2014-10-07 math.AP math.OC math.PR
Non-local tug-of-war with noise for the geometric fractional $p$-Laplacian
本文涉及非发散形式的分数$p$ -拉普拉斯算子$Δ_p^s$，该算子已在[Bjorland，Caffarelli，Figalli（2012）]中引入。对于任何$p\in [2,\infty)$和$s\in (\frac{1}{2},1)$，我们首先定义两个家庭的非本地，非线性平均运营商，参数化$ε$和定义的所有有界，Borel函数$u:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}$。我们证明，$Δ_p^s u(x)$出现的$ε^{2s}$ -阶系数在每个$ε$ -平均值$u(x)$的偏差的扩展，在域的极限平均耗尽一个适当的锥在$\mathbb{R}^N$的速率$ε\to 0$。其次，我们考虑的$ε$ -动态规划原则建模的第一平均，并表明其解决方案一致收敛$ε\to 0$，粘性解决方案的齐次非局部狄利克雷问题$Δ_p^s$，当提出在一个域$\mathcal{D}$，满足外部锥条件，并受到有界的，一致连续的数据$\mathbb{R}^N\setminus \mathcal{D}$。最后，我们解释这样的$ε$近似的解决方案的值的非本地拔河比赛的噪声。在这个游戏中，玩家选择方向，而游戏位置在与指定方向对齐的无限圆锥内随机更新，其孔径角度取决于$p$和$N$，并且其$ε$ -tip已被移除。
2020-10-18 math.AP
A finite difference approach to the infinity Laplace equation and tug-of-war games
我们提出了一个修改版本的两个球员的“拔河”游戏介绍佩雷斯，施拉姆，谢菲尔德和威尔逊。这个新的拔河游戏除了在域$\partial Ω$的边界附近之外与原来的完全相同，但是它的相关值函数更规则。动态规划原理意味着值函数满足一定的有限差分方程。通过直接研究这个差分方程，并采用粘性溶液理论的技巧，我们证明了一些新的结果。我们证明了有限差分方程有唯一的最大和最小解，这被确定为价值函数的两个拔河比赛的球员。我们证明了唯一性，因此存在一个值的游戏，在这种情况下，运行的支付函数是非负的。我们还表明，在某些情况下，唯一性持有的符号变化运行支付函数是足够小的。在极限$ε\to 0$中，我们得到了归一化无穷Laplace方程的值函数收敛到粘性解的结果.对于规范化无穷Laplace方程$-Δ_\infty u = f$，我们也得到了几个新的结果.特别是，我们证明了Dirichlet问题的任何有界连续$f$，和连续的边界数据，以及在一般情况下，这个问题的解决方案的唯一性的解决方案的存在性。在$f>0$，$f< 0$，或$f\equiv 0$的情形下，给出了唯一性的一个新的初等证明.研究了解关于$f$的稳定性，得到了一个关于$f\equiv 0$的显式连续依赖估计.
2011-08-28 math.AP math.PR
Tug-of-war with Kolmogorov
结合经典的Kolmogorov偏微分方程和归一化的$p$ -Laplace算子，引入了一类新的强退化非线性抛物型偏微分方程$$((p-2)Δ_{\infty,X}^N+Δ_X)u(X,Y,t)+(m+p)(X\cdot\nabla_Yu(X,Y,t)-\partial_tu(X,Y,t))=0,$$ $(X,Y,t)\in\mathbb R^m\times \mathbb R^m\times \mathbb R$，$p\in (1,\infty)$.我们描述的解决方案的渐近均值属性和结果连接到某些拔河比赛的噪声分析。当控制可能步骤的大小的参数变为零时，博弈的值函数引入了所述PDE的近似解。建立了狄利克雷问题的黏性解的存在唯一性.渐近均值属性，相关的游戏和几何基础的狄利克雷问题，都反映了家庭的膨胀和李群基本运营商的Kolmogorov型，这使得我们的设置不同的背景下，标准的抛物膨胀和欧几里得翻译适用于上下文中的热运营商和规范化的抛物无穷拉普拉斯运营商。
2022-09-20 math.AP math.PR
Consistency of semi-supervised learning, stochastic tug-of-war games, and the p-Laplacian
University of Minnesota（明尼苏达大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文概述了偏微分方程与基于图的半监督学习的交叉领域，聚焦PDE连续统极限证明算法适定性，并利用p-Laplacian的随机拔河博弈解释提出了其半监督学习一致性的新结果，辅以数值实验说明。
2024-06-03 cs.LG cs.NA math.AP
Harnack's inequality for p-harmonic functions via stochastic games
本文给出了p-调和函数Lipschitz连续性的一个证明，它是普通p-调和函数的拔河游戏类比.这一结果是用来获得一个新的证明哈纳克不等式的p-调和函数的情况下，$p>2$，避免经典的技术，如Moser迭代，而是依赖于合适的选择策略的随机拔河比赛。
2012-04-27 math.AP math.PR
Tug of war with noise: a game theoretic view of the p-Laplacian
在R^d中固定一个有界域Omega，在Omega的边界上固定一个连续函数F，常数n>0，p>1，q>1，其中p^{-1} + q^{-1} = 1。对于Ω中的每个x，设u^n（x）是下面两人零和对策中参与人I的值。游戏的初始位置是x。在每一阶段，掷一个公平的硬币，赢得掷硬币的玩家选择一个长度最多为1/2的向量v添加到游戏位置，之后还添加一个随机的“噪声向量”，其均值为零，方差（q/p）为|v| ^2。当博弈位置到达Ω边界上的某个y时博弈结束，参与人I的收益为F（y）.我们证明了（对于充分正则的Ω）当ω趋于零时，函数u^ω一致收敛到F的唯一p-调和扩张。使用修改后的游戏（在游戏中，随着游戏的位置接近边界，游戏变得更小），我们证明了类似的声明一般有界域欧米茄和解析函数F。这些游戏及其变体介于佩雷斯、施拉姆、谢菲尔德和威尔逊研究的拔河游戏（p=无穷大）和斯宾塞提出并由科恩和瑟法蒂研究的曲率运动游戏（p=1）之间。推广了布朗运动与普通拉普拉斯算子之间的关系，并给出了关于p-容度和p-调和测度的新结果.
2008-05-19 math.AP math.OC math.PR
Biased tug-of-war, the biased infinity Laplacian, and comparison with exponential cones
证明了如果U是开域，其闭包\subset在路径度量上是紧的，F是\partial{U}上的Lipschitz函数，则对每个β-有偏无穷Laplacian方程β存在唯一粘性解|\nabla使用|+ Δ_ \infty u=0在U上延伸F，其中Δ_ \infty u=| \nabla使用|^{-2} \sum_{i,j} u_{x_i} u_{x_ix_j} u_{x_j}。在证明中，我们扩展了Peres，Schramm，Sheffield和Wilson的拔河思想，并定义了β偏\eps -博弈如下。起始位置为x_0 \in U。在第k^ \text{th}步，两个参与者掷出一个适当偏向的硬币（在我们的关键例子中，参与者I以\exp（β \eps）为1的赔率获胜），获胜者选择x_k，d（x_k，x_{k-1}）< \eps。当x_k \in \partial{U}，参与者II支付给参与者I金额F（x_k）时，游戏结束。我们证明了这个对策的值u^{ \eps }（x_0）存在，且|u^ \eps - u | \infty \to 0作为\eps \to 0，其中u是F到\overline{U}的唯一扩张，满足与β-指数锥的比较.与指数锥的比较是我们在这里引入的一个概念，推广了Crandall，Evans和Garibaldi关于与线性锥比较的定理，我们证明了一个连续函数满足与β-指数锥的比较…
2009-08-13 math.AP math.OC math.PR
Tug-of-war and the infinity Laplacian
我们证明了长度空间X的子集Y上的每个有界Lipschitz函数F允许X的tautest扩张，即，唯一的Lipschitz扩张u，对于X的不与Y相交的所有开子集U，Lip_U u = Lip_{boundary of U} u。这以前只知道对于有界域R^n，在这种情况下u是无穷调和的，也就是说，一个黏性解到Delta_infty u = 0。我们还证明了Delta_infty u = g在R^n的有界子集上的第一个一般唯一性结果（当g是一致连续的且远离零有界的），以及有界长度空间的类似结果。证明依赖于一个新的博弈论描述u。设u^n（x）是下面两人零和对策的值，称为拔河：fix x_0=x \in X减去Y。在第k轮，玩家掷硬币，获胜者选择x_k，d（x_k，x_{k-1}）<k。当x_k在Y中时博弈结束，参与人1的收益为F（x_k）-（epsilon ^2/2）sum_{i=0} ^{k-1} g（x_i）我们证明了当ε趋于零时u^ε一致收敛于u。甚至对于R^n中的有界域，无穷调和函数的博弈论描述也产生了新的直觉和估计;例如，我们证明了单位圆中无穷调和函数的幂律界，其边界值支持在单位圆上康托尔集的δ邻域中。
2008-03-31 math.AP math.MG math.OC
Discontinuous gradient constraints and the infinity Laplacian
受拔河游戏和某些变分问题的渐近分析的启发，我们考虑了一个包含无穷拉普拉斯算子的梯度约束问题。我们证明了这个问题总是有一个解决方案，是唯一的，如果一定的正则性条件的约束得到满足。如果这个正则性条件失败，那么从对策论和$L^p$ -近似得到的解不需要重合。
2012-01-25 math.AP
Maximal and minimal solutions of an Aronsson equation: $L^{\infty}$ variational problems versus the game theory
狄利克雷问题$$ \begin{cases} Δ_{\infty}u-|Du|^2=0 \quad \text{on $Ω\subset \Rset ^n$} u|_{\partial Ω}=g \end{cases} $$可能有许多解，其中$Δ_{\infty}u=\sum_{1\leq i,j\leq n}u_{x_i}u_{x_j}u_{x_ix_j}$。本文利用$L^{\infty}$的变分法证明了最大解是$H(p,z)={1\over 2}|p|^2-z$的唯一绝对极小元，最小解是拔河游戏的连续值函数.我们还将刻画既不是绝对极小值也不是值函数的解的图。剩下的一个有趣的问题是如何解释这些中间解决方案。我们的大多数方法都是基于Barles-Busca [BB]的思想。
2009-06-03 math.AP
A game-theoretic approach to the parabolic normalized p-Laplacian obstacle problem
该研究采用博弈论方法，通过带噪声的零和随机拔河博弈为抛物型正规化p-Laplacian障碍问题的解建立概率表示，证明值函数的存在性、动态规划原理及向唯一粘性解的一致收敛性。
2025-10-29 math.AP math.PR
Harnack inequality for $p$-harmonic functions: probabilistic and analytic approaches
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京数学科学与应用研究院）；Qiuzhen College, Tsinghua University（清华大学邱耀学院）
本文通过概率方法改进p-调和函数Harnack不等式和Hölder连续性的维度依赖性，证明了Harnack常数随维度增长呈指数形式，优于Moser迭代法的结果。
2026-09-28 math.AP math.PR
