Distribution of crossings, nestings and alignments of two edges in matchings and partitions
我们构建了一个对合集分区，它保持跟踪的交叉，嵌套和两个边缘的对齐的数量。然后我们导出了划分中交叉数和嵌套数的对称分布，推广了Klazar最近在完美匹配中的结果。通过集合划分与某些路径图之间的双射对合进行因式分解，得到了相应的普通生成函数的连分数展开式。
2006-01-04 math.CO
Crossings and nestings in colored set partitions
Chen，Deng，Du，Stanley和Yan在集合划分中引入了$k$ -交叉和$k$ -嵌套的概念，并证明了$n$ -集合的划分中最大的$k$ -交叉和$k$ -嵌套的大小具有对称的联合分布。这项工作认为这些结果的推广，以设置分区的弧标记的$r$元素集（我们称之为\emph{$r$-colored set partitions}）。在这种情况下，$k$交叉或$k$嵌套是一系列弧，所有弧具有相同的颜色，它们形成通常意义上的$k$交叉或$k$嵌套。在证明了着色集划分中的最大交叉和嵌套的大小也具有对称的联合分布之后，我们考虑了几个相关的计数问题。我们证明了$r$ -着色集分区没有交叉弧相同的颜色是双射与某些路径在$\NN^r$，推广之间的对应关系的非交叉（无色）集分区和2-Motzkin路径。结合这与最近的工作Bousquet-Mélou和Mishna提供了一个证明，序列计数非交叉2色集划分是P-递归的。我们还讨论了我们的方法如何扩展到几个变化的彩色集分区与类似的概念的交叉和嵌套。
2013-02-26 math.CO
Crossings and nestings in set partitions of classical types
在这篇文章中，我们研究了保留开闭子的经典类型的集合划分的各种类上的双射。一方面，我们提出双射交换交叉和嵌套。对于类型B和C，他们推广了Kasraoui和Zeng对类型A的构造，而对于类型D，我们只能构造非交叉和非嵌套集合划分之间的双射。另一方面，我们将一个双射推广到B型和C型，它将最大交叉的基数与最大嵌套的基数互换，如Chen，Deng，Du，Stanley和Yan对A型给出的那样。使用这种双射的一个变体，我们还解决了Soll和Welker关于广义B型三角剖分和对称扇的戴克路径的猜想。
2009-04-09 math.CO
On partitions avoiding right crossings
最近，Chen等人导出了避免右嵌套的分区的生成函数，并提出了寻找避免右交叉的分区的生成函数的问题。在本文中，我们通过避免2-右交叉和右嵌套的部分匹配的中间结构导出了避免右交叉的划分的生成函数。我们证明了避免2-右交叉的部分匹配和避免右交叉的右嵌套和分区之间存在一个双射。
2011-10-05 math.CO
Mathematics of Balanced Parentheses: The case of Ordered Motzkin Words
众所周知，数学的核心是自然数。所有与自然数有关的东西对数学家来说都很有趣。在本文中，我们绘制了自然数和非数字字典序列的元素，Motzkin词（括号和零的格式良好的字符串）之间的相似之处。我们还将讨论将Motzkin单词分解为成对的括号（类似于素数）。最后，我们将试图让读者对括号表达式的数学分析元素感兴趣。作者将括号的嵌套过程描述为权函数的微分过程。我们将稍微研究一下括号对的导数，并给出一些微分方程。
2019-12-20 math.CO math.NT
Crossings and Nestings for Arc-Coloured Permutations
许多交叉和嵌套统计量的等分布存在于几个组合对象中，如匹配，集合划分，排列和嵌入标记图。对合切换嵌套和交叉数集分区给出的Krattenthaler，也由陈，邓，杜，斯坦利，严，并为置换给出的伯里尔，米什纳，和邮政涉及通过tableau一样的对象。最近，陈和郭匹配，和Marberg集分区扩展的结果，彩色弧注释图。证明了对称联合分布对弧色排列仍然成立。正如在马伯格最近的工作，但通过不同的解释，我们还得出结论，普通的生成函数的所有$j$ -noncrossing，$k$ -nonnesting，$r$ -colored排列根据大小$n$是有理函数。我们使用的解释，自动生成这些合理的一系列非交叉和非嵌套的有色集分区和排列。
2013-04-26 math.CO
Crossings and Nestings of Two Edges in Set Partitions
令$π$和$λ$是具有相同块数目的两个集合分区。假设$π$是$[n]$的一个分区。对于任何整数$l, m \geq 0$，令$\mathcal{T}(π, l)$为$[n+l]$的分区的集合，其对最后的$n$元素的限制与$π$同构，并且令$\mathcal{T}(π, l, m)$为$\mathcal{T}(π,l)$的子集，其由恰好具有$m$块的那些分区组成。类似地定义$\mathcal{T}(λ, l)$和$\mathcal{T}(λ, l,m)$。我们证明，如果统计$cr$（$ne$），交叉（嵌套）的两个边缘的数量，在$l =0, 1$的集合$\mathcal{T}(π, l)$和$\mathcal{T}(λ, l)$上重合，那么它在$\mathcal{T}(π, l,m)$和$\mathcal{T}(λ, l,m)$上重合所有$l, m \geq 0$。这些结果扩展了Klazar关于匹配的交叉点和嵌套的分布所得到的结果。
2007-10-09 math.CO
On identities concerning the numbers of crossings and nestings of two edges in matchings
设M，N是[2n]={1，2，...，2n}（可能M=N），对于一个非负整数l，设T（M，l）是[2n+2l]上那些匹配的集合，这些匹配可以从M通过在所有方面连续地将l乘以第一边而获得，对于T（N，l）也是类似的。让s，t在{cr，ne}中，其中cr是交叉数的统计（在匹配中），ne是嵌套数的统计（可能s=t）。我们证明了：如果统计量s和t在匹配集T（M，l）和T（N，l）上重合（l= 0，1），那么对于每个l >= 0，它们在这些匹配集上一定重合;对于cr和ne的联合统计量也有类似的恒等式。这些结果是一个一般的身份，其中交叉和嵌套的加权元素从阿贝尔群的实例。
2005-03-01 math.CO
Non-Crossing Tableaux
在组合学中，非嵌套和非交叉对象之间存在着一种众所周知的对偶性。在代数有许多对象是标准的，例如标准杨表，标准单式，标准Bitableaux。我们采用的观点是，这些标准对象是真正的非嵌套，我们发现他们的非交叉对应。
2006-07-18 math.CO
Crossing and alignments of permutations
我们介绍了交叉和嵌套的置换的概念。我们计算了具有固定数目的弱交叉、弱交叉和弱嵌套的置换的生成函数。我们将排列和排列模式与这些统计数据联系起来。我们推广到装饰排列的情况。最后，我们展示了这是如何与平稳分布的部分非对称排它过程（PASEP）模型。
2006-01-19 math.CO
Crossings and Nestings of Matchings and Partitions
我们目前的结果枚举的交叉和嵌套的匹配和集分区。利用划分间的双射和摇摆表，证明了在最小块元和最大块元的集合固定的情况下，划分的交叉数和嵌套数具有对称的联合分布.因此，交叉数和嵌套数在$[n]$的所有分区上以及在$[2n]$上的所有匹配上对称分布。作为推论，$k$ -非交叉划分的数目等于$k$ -非嵌套划分的数目。配对也是如此。给出了无$k$ -交叉（或无$k$ -嵌套）匹配枚举的一个应用.
2005-11-14 math.CO math.CT
Crossings and nesting in tangled-diagrams
$[n]=\{1,...,n\}$上的缠结图是一个度小于2的图，其顶点$1,...,n$排列在一条水平线上，其弧在上半平面上画出，并具有特殊的交叉和嵌套概念。推广了Chen { \it et.al.}本文证明了行小于$k$的广义摆动图与$k$ -非交叉缠结图之间的一个双射，并研究了它们的交叉与嵌套。证明了$k$ -非交叉和$k$ -非嵌套缠结图的个数相等，并列举了缠结图.
2007-10-26 math.CO math.RT
Restricted permutations refined by number of crossings and nestings
令$st=\{st_1,\ldots,st_k\}$是关于具有$k\geq 1$的置换的$k$统计的集合。如果$st$中的所有统计量在$T$ -避免置换$S_n(T)$和$T'$ -避免置换$S_n(T')$的集合上的联合分布相同，则我们说两个给定的置换子集$T$和$T'$是$st$-Wilf-等价的.本文主要研究$S_3$中所有单模式的（cr，nes）-Wilf-等价类，其中cr和nes分别表示交叉和嵌套的统计数.我们使用的主要工具之一是双射$Θ:S_n(321)\rightarrow S_n(132)$，它最初由Elizalde和Pak在\cite{ElizP}中展示。他们证明了双射$Θ$保持了不动点和超越数。由于$Θ$的给定配方是不直接的，我们表明，它可以直接定义的递归公式。然后，我们证明，它也保持交叉的数量。由于非嵌套排列和321-避免排列的集合是相同的，双射$Θ$的这些性质导致与\cite{ARandr}中定义的Randrianarivony的q，p-Catalan数相关的意外结果。
2020-02-03 math.CO
Limiting distribution of maximal crossing and nesting of Poissonized random matchings
Chen等人[Trans.Amer.Math.Soc.359（2007）1555-1575]引入了完全匹配的$r$ -交叉和$r$ -嵌套的概念，并证明了对称性。我们考虑随机匹配的大尺寸和研究他们的最大交叉和最大嵌套。已知它们中的每一个的边缘分布收敛于GOE Tracy-Widom分布。我们表明，最大交叉和最大嵌套成为独立的渐近，我们评估的联合分布的泊松随机匹配明确的第一个修正项。这导致了协方差的渐近评估。此外，我们计算的分布函数中的两个对象的显式第二个校正项：（a）的泊松随机置换的最长增加子序列的长度和（b）的最大交叉，因此也是最大嵌套，泊松随机匹配。
2013-12-16 math-ph math.CO math.MP
Equidistributed statistics on matchings and permutations
我们发现，双统计量的右嵌套和右交叉匹配没有左嵌套是等分布的两个特定的模式在排列中出现的次数，而且，这种等分布时，这些统计量的匹配和排列的位置。对于这个分布，我们得到了一个非交换的生成函数，该生成函数专门用于阿贝尔化后的Fishburn数的Zagier生成函数。作为特例，我们得到了Claesson和Linusson两个定理的证明.最后，我们猜想我们的结果也可以推广到涉及匹配的左交叉。
2011-12-09 math.CO
On the number of unary-binary tree-like structures with restrictions on the unary height
我们考虑各种类的Motzkin树，以及AZIDA条款，我们得出的渐近枚举结果。这些类分别通过关于一元节点或抽象的各种限制来定义：我们要么限制它们的数量，要么限制允许的嵌套级别。枚举是通过生成函数的方法和奇异性分析。生成函数由嵌套的平方根组成，在某些情况下表现出意想不到的现象。此外，我们提出了一些意见，从随机生成这些条款，并解释为什么通常强大的工具，随机生成，如玻尔兹曼采样器，面临着严重的困难，在生成的非线性项。
2015-10-05 math.CO
A combinatorial bijection on $k$-noncrossing partitions
对于任意整数$k\geq2$，我们组合地证明了下面的欧拉（二项式）变换恒等式$$ \NC_{n+1}^{(k)}(t)=t\sum_{i=0}^n{n\choose i}\NW_{i}^{(k)}(t), $$，其中$\NC_{m}^{(k)}(t)$（分别为~ $\NW_{m}^{(k)}(t)$）是$\{1,\ldots,m\}$的没有$k$交叉的分区的权重之和$t^\text{number of blocks}$（分别为增强的$k$ -交叉口）。特殊的$k=2$和$t=1$情形，断言Motzkin数的欧拉变换是Catalan数，由Donaghey在1977年发现。$k=3$和$t=1$的结果，在最近的一项研究中自然产生的模式避免上升序列和反转序列，只是证明了分析。
2019-09-16 math.CO
Dyck paths and pattern-avoiding matchings
顶点集V={1，2，.，2n}避免给定的三条边的配置？Chen，Deng和Du已经证明了避免三个嵌套边的匹配的数量等于避免三个成对交叉边的匹配的数量。在本文中，我们考虑其他禁止配置的大小为3。我们提出了一个双射之间的匹配，避免三个交叉的边缘和匹配，避免一个边缘嵌套在两个交叉的边缘。这种双射使用长度为2n的非交叉Dyck路径对作为中间步骤。此外，我们还给出了一个双射，它将避免两条嵌套边与第三条边相交的匹配映射到避免一个无限族中所有配置的匹配上，该无限族包含由三条相交边组成的配置。我们使用这个双射来证明，对于大小n>3的匹配，避免三条交叉边比避免两条嵌套边与第三条边交叉更容易。在本文的更新版本中，我们添加了新的参考文献，这些文献在不同的背景下获得了类似的结果。
2007-06-26 math.CO
Increasing and Decreasing Sequences of Length Two in 01-Fillings of Moon Polyominoes
我们把最近的结果的对称性的联合分布的数量的交叉和嵌套的两个边缘的匹配，集分区和链接分区，在更大的范围内的枚举的增加和减少链的长度为2的填充的月亮polyominoes。
2008-12-03 math.CO
Classical continued fractions for some multivariate polynomials generalizing the Genocchi and median Genocchi numbers
D排列是$[2n]$的排列，对于所有$k$，满足$2k-1 \le σ(2k-1)$和$2k \ge σ(2k)$;它们提供了Genocchi数和中位数Genocchi数的组合模型。我们发现Stieltjes型和Thron型连分数的一些多元多项式，枚举D-排列相对于一个非常大的（有时是无限的）数量的同时统计，测量周期状态，记录状态，交叉和嵌套。
2022-12-14 math.CO
Odd-indexed Fibonacci numbers via pattern-avoiding permutations
Penn State Altoona（宾夕法尼亚州立大学阿伦敦分校）
本文研究了若干组合问题，其计数结果为奇数索引斐波那契数，包括特定类型的Dyck路径、块喷泉、有向列凸多边形和无交叉无嵌套的集合划分。通过构造到避免模式排列的双射，并推导生成函数以跟踪排列层面的统计量。
2025-06-18 math.CO
The $q$-tangent and $q$-secant numbers via continued fractions
众所周知，置换的枚举多项式的$(-1)$ -求值（分别为：（1）数的增加，使数的增加，使数的增加。正割数）。最近，Foata和Han以及Josuat-Vergès分别发现了后一结果的两个不同的$q$类似物。本文证明了几个一般的连分数展开式，从而使我们能够统一处理Josuat-Vergès的两个公式，并导出上述公式的一个新的$q$ -模拟.我们的方法是基于一个$(p,q)$ -模拟的切线和割线数通过连分数和生成函数的排列有关的五元组统计组成的定点数，弱超越数，交叉数，嵌套数和反转数。利用一种新的无序排列线性模型，给出了Josuat-Vergès公式的组合证明.
2010-04-22 math.CO
Continued fractions for cycle-alternating permutations
该研究针对循环交替排列的计数多元多项式得到Stieltjes型连分数，引入其推广结构交替Laguerre有向图并给出对应计数多项式的指数生成函数，还从图的角度解释了相关连分数对应的两类Rogers矩阵。
2024-09-03 math.CO
Cyclic sieving phenomena via combinatorics of continued fractions
本文利用连分数恒等式研究排列、集合划分、完美匹配和D-排列上的循环筛分现象，重新证明并推广Corteel对合相关结果，证明两个猜想，并构造新的Genocchi-Corteel对合。
2025-08-19 math.CO
On pattern-avoiding partitions
集合$[n]=\{1,...c,n\}$的\emph{set partition}是其并集是$[n]$的不相交块$B_1,B_2,...c, B_d$的集合。我们选择块的顺序，使它们满足$\min B_1<\min B_2<...b<\min B_d$。我们用一个\emph{canonical sequence} $π_1,π_2,...c,π_n$来表示这样一个集合划分，如果是$i\in B_j$，则用$π_i=j$。如果$π$的标准序列包含与$σ$的标准序列序同构的子序列，则我们称划分$π$ \emph{contains}为划分$σ$。如果在$σ$ -避免分区和$σ'$ -避免分区之间存在保持大小的双射，则两个分区$σ$和$σ'$是\emph{equivalent}。我们确定了几个无限的家庭的等价模式集，例如，我们证明了有一个双射之间的$k$ -非交叉和$k$ -非嵌套分区，交叉和嵌套的概念的基础上的规范序列。我们还提供了新的Catalan数和Stirling数的组合解释。使用系统的计算机搜索，我们验证了我们的研究结果的特点，所有对等价分区的大小最多为7。我们还提出了设置分区和填充的费勒斯形状和堆栈polyominoes之间的对应关系。这种对应关系使我们能够应用最近的结果polyomino填充在分区的研究，相反，我们的一些结果分区意味着新的结果polyomino填充和有序图。
2007-03-29 math.CO
