关于小维空间中中心对称帽体的照明问题
On the illumination of centrally symmetric cap bodies in small dimensions
AI总结：
本文研究了小维空间中中心对称帽体的照明数，证明了在三维空间中此类帽体的照明数不超过6，在四维空间中不超过8。
摘要：
欧几里得空间$\mathbb{E}^d$中凸体$K$的照明数$I(K)$是完全照亮凸体边界所需的最小方向数。球体的帽体$K_c$是球体与外部可数点集的凸包，条件是任意两点之间的线段都与球体相交。本文的主要结果是：在$\mathbb{E}^3$中，中心对称帽体的照明数$I(K_c)\leq6$；在$\mathbb{E}^4$中，无条件对称帽体的照明数$I(K_c)\leq8$。
英文摘要：
The illumination number $I(K)$ of a convex body $K$ in Euclidean space $\mathbb{E}^d$ is the smallest number of directions that completely illuminate the boundary of a convex body. A cap body $K_c$ of a ball is the convex hull of a Euclidean ball and a countable set of points outside the ball under the condition that each segment connecting two of these points intersects the ball. The main results of this paper are the sharp estimates $I(K_c)\leq6$ for centrally symmetric cap bodies of a ball in $\mathbb{E}^3$, and $I(K_c)\leq 8$ for unconditionally symmetric cap bodies of a ball in $\mathbb{E}^4$.
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