线性计数系统中的终极周期性判定问题
Ultimate periodicity problem for linear numeration systems
AI总结：
针对线性计数系统中可识别集合的终极周期性判定问题，证明了基于线性递推序列的计数系统可判定，并利用算术与p-adic方法由DFA给出周期上界。
摘要：
我们研究以下判定问题：给定一个计数系统 $U$ 和一个 $U$-可识别集合 $X\subseteq\mathbb{N}$（即其贪婪 $U$-表示构成的集合能被有限自动机识别），判定 $X$ 是否具有终极周期性。我们证明，对于一类基于线性递推序列构建的计数系统，该问题是可判定的。基于对递推方程的算术分析以及 $p$-adic 方法，输入给定的 DFA 提供了可测试的允许周期的上界。
英文摘要：
We address the following decision problem. Given a numeration system $U$ and a $U$-recognizable set $X\subseteq\mathbb{N}$, i.e. the set of its greedy $U$-representations is recognized by a finite automaton, decide whether or not $X$ is ultimately periodic. We prove that this problem is decidable for a large class of numeration systems built on linearly recurrent sequences. Based on arithmetical considerations about the recurrence equation and on $p$-adic methods, the DFA given as input provides a bound on the admissible periods to test.
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