从无标签的欧几里得长度在一维中的重构
Reconstruction in one dimension from unlabeled Euclidean lengths
AI总结：
研究3连通有序图在一维随机映射下的高效重构问题，证明该问题最坏情况为NP-HARD，但结合格规约与Seymour算法可大概率从无标签欧几里得长度重构图与映射，且对少量误差具有鲁棒性。
摘要：
设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的 $3$-连通有序图。设 $\mathbf{p}$ 是将这些 $n$ 个顶点随机映射到整数范围 $\{1, 2, 3, \ldots, 2^b\}$ 的映射，其中 $b\ge m^2$。设 $\ell$ 为在 $\mathbf{p}$ 下 $G$ 的 $m$ 条边的欧几里得长度向量。在本文中，我们证明了，在 $\mathbf{p}$ 上的大概率下，我们可以从 $\ell$ 高效地重构 $G$ 和 $\mathbf{p}$。即使在 $G$ 和 $\ell$ 均已知的情况下，该重构问题在最坏情况下是 NP-HARD 的。我们还证明了，在 $\ell$ 存在少量误差以及具有足够精确长度测量的真实环境中，我们的结果依然成立。我们的方法结合了先前用于解决随机子集和问题的格规约技术，以及 Seymour 提出的一种算法，该算法在给定拟阵的独立性预言机时能够高效重构有序图。
英文摘要：
Let $G$ be a $3$-connected ordered graph with $n$ vertices and $m$ edges. Let $\mathbf{p}$ be a randomly chosen mapping of these $n$ vertices to the integer range $\{1, 2,3, \ldots, 2^b\}$ for $b\ge m^2$. Let $\ell$ be the vector of $m$ Euclidean lengths of $G$'s edges under $\mathbf{p}$. In this paper, we show that, with high probability over $\mathbf{p}$, we can efficiently reconstruct both $G$ and $\mathbf{p}$ from $\ell$. This reconstruction problem is NP-HARD in the worst case, even if both $G$ and $\ell$ are given. We also show that our results stand in the presence of small amounts of error in $\ell$, and in the real setting, with sufficiently accurate length measurements. Our method combines lattice reduction, which has previously been used to solve random subset sum problems, with an algorithm of Seymour that can efficiently reconstruct an ordered graph given an independence oracle for its matroid.
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