关于斜形状标准杨表的 Okounkov-Olshanski 公式
On the Okounkov-Olshanski formula for standard tableaux of skew shapes
AI总结：
本文研究了斜形状标准杨表的 Okounkov-Olshanski 公式，证明了其行列式公式、与其他斜表公式的等价性及 q-模拟，并改进了厚锯齿形状标准杨表数量的上界。
摘要：
经典的钩长公式用于计算直形状标准杨表的数量。1996年，Okounkov 和 Olshanski 发现了一个关于斜形状标准 Young 表数量的正公式。我们证明了该公式的多种性质，包括关于非零项数量的三个行列式公式、Okounkov-Olshanski 公式与另一个涉及 Knutson-Tao puzzles 的斜表公式之间的等价性，以及针对反向平面分拆的两个 q-模拟，这补充了 Stanley 和 Chen 关于半标准表的工作。我们还给出了该公式的几种重新表述，包括基于 Naruse 在更近的斜表公式中出现的激发图的两种表述。最后，对于厚锯齿形状，我们证明了非零项的数量由 Genocchi 数的行列式给出，并改进了 Morales-Pak-Panova 关于这些形状的标准杨表数量的已知上界。
英文摘要：
The classical hook length formula counts the number of standard tableaux of straight shapes. In 1996, Okounkov and Olshanski found a positive formula for the number of standard Young tableaux of a skew shape. We prove various properties of this formula, including three determinantal formulas for the number of nonzero terms, an equivalence between the Okounkov-Olshanski formula and another skew tableaux formula involving Knutson-Tao puzzles, and two $q$-analogues for reverse plane partitions, which complements work by Stanley and Chen for semistandard tableaux. We also give several reformulations of the formula, including two in terms of the excited diagrams appearing in a more recent skew tableaux formula by Naruse. Lastly, for thick zigzag shapes we show that the number of nonzero terms is given by a determinant of the Genocchi numbers and improve on known upper bounds by Morales-Pak-Panova on the number of standard tableaux of these shapes.
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