关于分配格上的对偶化
On Dualization over Distributive Lattices
AI总结：
针对分配格上的对偶化问题，提出拟多项式时间算法，解决开放问题，并应用于理性数据库中最小不频繁闭属性集的增量枚举。
摘要：
给定一个偏序集 $P$，以及 $P$ 中理想族 $\mathcal{I}$ 和滤子族 $\mathcal{F}$，使得每一对 $(I,F)\in \mathcal{I}\times\mathcal{F}$ 都有非空交集，则 $P$ 上的对偶化问题是检查 $P$ 中是否存在一个理想 $X$，它与 $\mathcal{F}$ 的每个成员相交且不包含 $\mathcal{I}$ 的任何成员。等价地，该问题是检查由 $P$ 的联合不可约元集合给出的分配格 $L=L(P)$，以及给定的两个反链 $\mathcal{A},\mathcal{B}\subseteq L$（满足没有 $a\in\mathcal{A}$ 被任何 $b\in\mathcal{B}$ 支配），是否 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$（通过支配）覆盖整个格。我们证明该问题可以在 $P$、$\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 大小的拟多项式时间内解决，从而回答了 Babin 和 Kuznetsov (2017) 中的一个开放问题。作为应用，我们证明在理性数据库中，相对于给定最大前提大小为 1 的蕴含基，最小不频繁闭属性集可以以增量拟多项式时间枚举。
英文摘要：
Given a partially order set (poset) $P$, and a pair of families of ideals $\mathcal{I}$ and filters $\mathcal{F}$ in $P$ such that each pair $(I,F)\in \mathcal{I}\times\mathcal{F}$ has a non-empty intersection, the dualization problem over $P$ is to check whether there is an ideal $X$ in $P$ which intersects every member of $\mathcal{F}$ and does not contain any member of $\mathcal{I}$. Equivalently, the problem is to check for a distributive lattice $L=L(P)$, given by the poset $P$ of its set of joint-irreducibles, and two given antichains $\mathcal{A},\mathcal{B}\subseteq L$ such that no $a\in\mathcal{A}$ is dominated by any $b\in\mathcal{B}$, whether $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ cover (by domination) the entire lattice. We show that the problem can be solved in quasi-polynomial time in the sizes of $P$, $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$, thus answering an open question in Babin and Kuznetsov (2017). As an application, we show that minimal infrequent closed sets of attributes in a rational database, with respect to a given implication base of maximum premise size of one, can be enumerated in incremental quasi-polynomial time.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
