Truly Subquadratic 3SUM and Truly Subcubic APSP via Triangles in Sparse Lopsided Graphs
Columbia University（哥伦比亚大学）；MIT（麻省理工学院）
本文提出首个多项式改进算法，在O(n^{1.9992})和O(n^{2.9995})时间内分别解决3SUM和APSP，反驳相关假设，核心创新是薄矩阵乘积算法，并归约到稀疏偏斜图中的三角形问题。
2026-10-06 cs.CC cs.DS
Matrix Multiplication Using Only Addition
本文提出一种仅用加法和片上复制操作替代标量乘法的矩阵乘法方法，使芯片无需乘法器电路即可容纳更多处理器，从而实现净加速。
2023-07-04 cs.DS
Optimizing relinearization in circuits for homomorphic encryption
全同态加密（FHE）允许不可信方评估算术加密，即，在没有解密密钥的情况下对加密数据执行加法和乘法。最有效的一类FHE计划包括BGV和FV计划，这是基于RLWE问题的难度。它们有一些共同的特征：密文大小在每次同态乘法之后都会增长;乘法比加法成本高得多，同态乘法的成本与输入密文大小呈线性关系。此外，还有一种特殊的重新线性化操作，可以减少密文的大小，并且重新线性化的成本与同态乘法的数量级相同。这促使我们定义一个离散优化问题，即决定在给定电路中的何处（以及多少）重新线性化，以最小化总计算成本。本文给出了再线性化问题的形式化定义。证明了该问题是NP-困难的。此外，在每个顶点至多有一条出边的特殊情况下，我们给出了一个多项式时间算法。
2017-10-25 cs.CR cs.DS math.OC
Faster Quantum Number Factoring via Circuit Synthesis
实现Shor的量子数分解算法的一个主要障碍是模幂电路的大尺寸。我们减少了这个瓶颈定制可逆电路的模乘个人运行的肖尔算法。我们的电路合成程序利用乘法运算符的频谱特性，并从适当的GCD算法的执行轨迹构造优化电路。从经验上讲，门数减少了4-5倍，电路延迟减少了更大的因素。
2013-01-15 cs.DS cs.ET quant-ph
Elastic-Degenerate String Matching via Fast Matrix Multiplication
弹性简并（ED）弦是总长度为$N$的弦的$n$集合的序列，其最近被提出来模拟一组相似序列。ED字符串匹配（EDSM）问题是在ED文本中找到长度为$m$的模式的所有出现。用于EDSM的$O(nm^{1.5}\sqrt{\log m}+N)$时间算法是已知的[Aoyama等人，CPM 2018]。关于这个问题的先前工作中的标准假设是$N$实质上大于$n$和$m$，因此我们希望对前者具有线性依赖性。在这个假设下，自然的开放问题是我们是否可以降低时间复杂度的1.5指数，类似于相关的（但据我们所知，不等价）断字问题[Backurs and Indyk，FOCS 2016]。我们的出发点是EDSM的条件下界。我们使用流行的组合布尔矩阵乘法（BMM）猜想，说明BMM没有真正的亚立方组合算法[Abboud和Williams，FOCS 2014]。通过设计一个适当的减少，我们表明，一个组合算法解决EDSM问题的$O(nm^{1.5-e}+N)$时间，任何$e>0$，驳斥了这一猜想。我们的减少应该被理解为减少指数需要快速矩阵乘法的指示。字符串周期性和快速傅立叶变换是字符串算法中的两个标准工具。我们的主要技术贡献是，我们成功地将这些工具与快速矩阵乘法结合起来，设计了一个非组合的$\tilde{O}(nm^{ω-1}+N)$时间算法EDSM，其中$ω$表示矩阵乘法指数。据我们所知，我们是第一个将这些工具结…
2021-05-04 cs.DS
Node-Weighted Triangles: Faster and Simpler
Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克 informatics 研究所）
本文提出一种在接近矩阵乘法时间内解决带节点权重三角形检测的问题，简化了之前复杂的方法。
2026-05-09 cs.DM cs.DS
Unifying and Strengthening Hardness for Dynamic Problems via the Online Matrix-Vector Multiplication Conjecture
考虑下面的在线布尔矩阵-向量乘法问题：我们给出一个$n\times n$矩阵$M$，并将逐个接收大小为$n$的$n$列向量，用$v_1,\ldots,v_n$表示。在看到每个矢量$v_i$之后，我们必须输出乘积$Mv_i$，然后才能看到下一个矢量。一个简单的算法可以解决这个问题，使用$O(n^3)$时间的总和，其运行时间可以稍微改善到$O(n^3/\log^2 n)$ [威廉姆斯SODA'07]。我们表明，一个猜想，有没有真正的次立方（$O(n^{3-ε})$）时间算法，这个问题可以用来表现出潜在的多项式时间硬度共享许多动态问题。对于一些问题，如子图连通性，Pagh问题，$d$ -失效连通性，递减单源最短路，递减传递闭包，这个猜想意味着紧硬度的结果.因此，证明或反驳这个猜想将是非常有趣的，因为它要么意味着几个严格的无条件下界，要么突破阻碍这些问题进展的共同障碍。这一猜想也可能被认为是对这些问题的任何进一步改进的有力证据，因为反驳它将意味着组合布尔矩阵乘法和其他长期存在的问题的重大突破，如果术语“组合算法”被解释为“非Strassen-like算法”[Ballard et al. SPAA'11]。该猜想还导致了以前基于不同问题和结构的问题的硬度结果，如3SUM，组合布尔矩阵乘法，三角形检测和多相，从而提供了一种统一的方法来证明动态算法的多项式硬度结果;一些新的证明也更简单，甚至变得…
2015-11-20 cs.DS
Computing Elementary Symmetric Polynomials with a Sublinear Number of Multiplications
初等对称多项式$S_n^k$被用作有界深度算术电路计算模型的基准。在这项工作中，我们证明了$S_n^k$模复合数$m=p_1p_2$可以计算少得多的乘法比在任何领域，如果单项式$x_{i_1}x_{i_2}... x_{i_k}$的系数被允许为1要么mod $p_1$或mod $p_2$，但不一定两者兼而有之。更确切地说，我们证明，对于任何恒定的$k$这样的表示$S_n^k$可以计算模$p_1p_2$仅使用$\exp(O(\sqrt{\log n}\log\log n))$乘法的最受限制的深度3算术电路，为$\min({p_1,p_2})>k!$。此外，乘法的数量保持次线性，而$k=O(\log\log n).$相反，众所周知的Graham-Pollack界产生的乘法的数量的$n-1$下限，即使对于$S_n^2$的精确计算（而不是表示）。我们的结果也推广到其他非素幂复合模。证明使用著名的BBR多项式的巴林顿，贝格尔和Rudich。
2002-07-03 cs.CC cs.DM cs.DS
Unrestricted Boolean Multiplicative Complexity of Four-Term Binary Polynomial Multiplication: Rational Places, Hasse Jets, and the Failure of Nonlinear Feedback
Eötvös Loránd University（罗兰大学）
该研究确定四项二元多项式乘法的无限制异或-与布尔乘法复杂度为9，解决了Boyar-Find问题，其证明采用结构性方法，且有Lean 4形式化验证，还推导了三项乘法的复杂度为6。
2026-09-01 cs.CC cs.DS
Core-Sparse Monge Matrix Multiplication: Improved Algorithm and Applications
本文研究核心稀疏 Monge 矩阵乘法，证明乘积矩阵核心大小的线性上界，给出 O((n+δ) log n) 时间算法，并应用于加权序列比对和最长递增子序列的快速重建。
2025-07-07 cs.DS
A quantum circuit to find discrete logarithms on ordinary binary elliptic curves in depth O(log^2 n)
Maslov等人在Kaye和Zalka的早期构造的基础上进行了改进，描述了Shor算法的实现，该算法可以解决二次深度为O（n^2）的二元椭圆曲线上的离散对数问题。在本文中，我们表明，这种曲线上的离散型可以找到一个量子线路的深度为O（log^2 n）。作为技术工具，我们介绍了深度为O（log n）的GF（2^n）乘法和深度为O（log^2 n）的GF（2^n）反演的量子线路。
2013-11-14 cs.DS cs.ET quant-ph
Segmented Operations using Matrix Multiplications
针对AI加速器中矩阵乘法单元利用不足的问题，提出MMV-RAM计算模型，并设计分段扫描与求和等算法，利用MMU实现可证明的加速，在Ascend 910B上验证了有效性。
2025-09-24 cs.CC cs.DC cs.DS
A Computational Model for Tensor Core Units
Stony Brook University（石溪大学）；University of Padova（帕多瓦大学）；Free University of Bozen（博岑自由大学）
为了满足深度神经网络的高效训练和推理需求，已经引入了大量特定于领域的硬件架构，例如Google Tensor Processing Units和NVIDIA Tensor Cores。这些架构的共同特征是用于有效地计算给定小尺寸的密集矩阵乘法的硬件电路。为了拓宽利用这些系统的算法的类，我们提出了一个计算模型，命名为TCU模型，它捕获的能力，本机乘小矩阵。然后，我们使用TCU模型设计快速算法的几个问题，包括矩阵运算（密集和稀疏乘法，高斯消元），图形算法（传递闭包，所有对最短距离），离散傅立叶变换，模板计算，整数乘法，多项式评估。最后，我们强调TCU模型和外部存储器模型之间的关系。
2020-07-09 cs.AR cs.DC cs.DS
Group Isomorphism and the Polylogarithmic-Time Hierarchy: Depth-2$\frac{1}{2}$ Circuits and Lower Bounds
University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；Santa Fe Institute（圣塔菲研究所）；College of Charleston（查尔斯顿学院）
本文在乘法表模型中研究群同构的低深度电路复杂度，证明其深度2电路下界，给出深度2½均匀电路的拟多项式规模上界，采用不同于前期拟群通用策略的群特定结构方法。
2026-11-02 cs.CC cs.DS math.GR
A Note on Fine-Grained Quantum Reductions for Linear Algebraic Problems
该研究发现，计算整数矩阵行列式、迹等核心线性代数问题的量子或经典算法，可推导出等价复杂度的矩阵乘法量子算法，补充了现有归约结果，揭示量子计算机上这些问题与矩阵乘法复杂度本质等价。
2025-09-23 cs.CC cs.DS cs.NA
Smaller Circuits for Bit Addition
针对位加法在布尔电路综合中的基础地位，本文研究全二元基下位加法的电路规模，将上界从$5n-3m$改进为$4.5n-2m$（在$m$远小于$n$时提升10%），并提供开源生成器实现。
2025-09-24 cs.CC cs.DM cs.DS
On the Constant-Depth Circuit Complexity of Generating Quasigroups
研究群和拟群的同构、最小生成集等问题的常深度电路复杂度，将多个问题的上界改进为quasiAC⁰，反驳相关猜想并指出常深度电路复杂度对解决（拟）群问题的关键作用。
2025-08-21 cs.CC cs.DS math.CO
