算法最优外测度
Algorithmically Optimal Outer Measures
AI总结：
本文研究算法分形维数与外测度经典局部分形维数的关系，提出下半可计算外测度的最优性条件，并证明局部最优外测度可使两类维数精确一致。
摘要：
我们研究欧几里得空间中算法分形维数与外测度的经典局部分形维数之间的关系。我们引入了下半可计算外测度的全局和局部最优性条件。我们证明了全局最优外测度存在。我们的主要定理表明，任何局部最优外测度的经典局部分形维数都与算法分形维数完全一致。我们的证明使用了一个根据 Kolmogorov 复杂度定义的特别便利的局部最优外测度 $\oldsymbolκ$。我们讨论了对点到集原则的影响。
英文摘要：
We investigate the relationship between algorithmic fractal dimensions and the classical local fractal dimensions of outer measures in Euclidean spaces. We introduce global and local optimality conditions for lower semicomputable outer measures. We prove that globally optimal outer measures exist. Our main theorem states that the classical local fractal dimensions of any locally optimal outer measure coincide exactly with the algorithmic fractal dimensions. Our proof uses an especially convenient locally optimal outer measure $\boldsymbolκ$ defined in terms of Kolmogorov complexity. We discuss implications for point-to-set principles.
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