在[Augustine et al.，SODA '20]为允许多种通信模式的网络提供了理论基础。该模型遵循同步消息传递的原则，而节点被允许使用\textit{two}根本不同的通信模式。首先，本地模式，其中节点可以在本地通信图$G$的边缘上每轮交换任意信息（类似于$\mathsf{LOCAL}$模型）。第二，全局模式，其中每个节点可以与网络中的任意节点交换每轮大小为$O(\log n)$比特的$O(\log n)$消息。$\mathsf{HYBRID}$模型旨在反映许多实际混合网络的条件，其中高带宽但固有的本地通信与具有受限带宽的高度灵活的全局通信相结合。我们继续探索的权力和限制的$\mathsf{HYBRID}$模型通过调查的复杂性计算最短路径和直径的本地通信图$G$。我们改进了[Augustine et al.，SODA '20]，并提供算法来近似解$k$源最短路径问题（$k$ -SSSP）。我们证明，我们的结果APSP和$k$ -SSP几乎是紧密的（多对数因子）。此外，我们给出了大直径图的精确单源最短路问题的一个改进算法。对于局部通信网络的直径近似问题，给出了第一个非平凡上界。这个上限是由一个精确的直径问题的下限补充。
英文摘要：
The $\mathsf{HYBRID}$ model, introduced in [Augustine et al., SODA '20], provides a theoretical foundation for networks that allow multiple communication modes. The model follows the principles of synchronous message passing, whereas nodes are allowed to use \textit{two} fundamentally different communication modes. First, a local mode where nodes may exchange arbitrary information per round over edges of a local communication graph $G$ (akin to the $\mathsf{LOCAL}$ model). Second, a global mode where every node may exchange $O(\log n)$ messages of size $O(\log n)$ bits per round with arbitrary nodes in the network. The $\mathsf{HYBRID}$ model intends to reflect the conditions of many real hybrid networks, where high-bandwidth but inherently local communication is combined with highly flexible global communication with restricted bandwidth.
We continue to explore the power and limitations of the $\mathsf{HYBRID}$ model by investigating the complexity of computing shortest paths and diameter of the local communication graph $G$. We improve on the known upper bound for the exact all pairs shortest paths problem (APSP) from [Augustine et al., SODA '20] and provide algorithms to approximate solutions for the $k$ source shortest paths problem ($k$-SSSP). We demonstrate that our results for APSP and $k$-SSP are almost tight (up to poly-logarithmic factors). Furthermore, we give an improved algorithm for the exact single source shortest paths problem for graphs with large diameter. For the problem of approximating the diameter of the local communication network we give the first non-trivial upper bound. This upper bound is complemented by a lower bound for the exact diameter problem.
Near-Shortest Path Routing in Hybrid Communication Networks
混合网络，即，利用不同通信手段的网络变得越来越广泛。为了对这种网络进行理论研究，[Augustine et al.，SODA'20]引入了$\mathsf{HYBRID}$模型，该模型基于同步消息传递的概念，并使用两种根本不同的通信原理：本地模式，允许每个节点与本地通信图中的每个邻居每轮交换一条消息;以及全局模式，其中任何节点对都可以交换消息，但每轮只能进行很少的此类交换。以前对$\mathsf{HYBRID}$模型的研究中有相当大的一部分是围绕基本的通信原语和计算网络中的距离或最短路径进行的。在本文中，我们将这项研究扩展到一个相关的基本问题，计算紧凑的路由方案的近最短路径的本地通信图。我们证明，在这种情况下，本地通信图是一个单位盘图与$n$节点，实现在平面上，并没有无线电孔，我们可以确定性地计算路由方案，具有恒定的拉伸和使用标签和本地路由表的大小$O(\log n)$位在只有$O(\log n)$轮。
Fully Polynomial-Time Distributed Computation in Low-Treewidth Graphs
我们考虑全球性的问题，即问题，需要至少直径的时间，即使带宽不受限制。我们表明，所有考虑的问题承认有效的解决方案，在低树宽图。我们所说的"有效“是指运行时间对树宽有多项式依赖性，对直径有线性依赖性（这是不可避免的），对图中节点数$n$只有多对数依赖性。我们提出了解决CONGEST模型中以下问题的算法，它们都达到了$\tilde{O(τ^{O(1)}D)}$ -轮复杂度（其中$τ$和$D$分别表示图的树宽和直径）：（1）精确单源最短路径（实际上，计算距离标记方案的更一般的问题），（2）精确二分未加权最大匹配，（3）有向图和无向图的加权围长。我们得出我们所有的结果使用一个统一的框架，其中包括两个新的技术成分，第一个是一个完全多项式时间的分布式树分解算法，它输出分解的宽度$O(τ^2\log n)$在$\tilde{O}(τ^{O(1)}D)$轮（其中$n$是图中的节点数）。第二个成分，也是本文的技术亮点，是\emph{stateful walk constraint}的新概念，它基于它们的局部属性（例如，增强路径）。给定有状态的行走约束，最短路径问题（或距离标记）的约束版本要求算法输出给定源顶点和宿顶点的最短\emph{constrained}行走（或其距离）。我们表明，这个问题可以有效地解决在CONGEST模型，减少它的\emph{unconstrained}版本的问题。
