On MDS Convertible Codes in the Merge Regime
针对大规模分布式存储中码参数调整的需求，本文研究MDS码合并转换，提出三种最优访问成本构造及一种优化带宽成本的构造，后者降低子分组化并几乎达到MDS猜想下界。
2025-08-08 cs.IT math.IT
Bandwidth Cost of Code Conversions in Distributed Storage: Fundamental Limits and Optimal Constructions
擦除码已经成为分布式存储系统中不可或缺的一部分，作为在设备故障的持续威胁下提供数据可靠性和持久性的工具。在这样的系统中，有限域$\mathbb{F}_q$上的$[n, k]$码将$k$消息符号编码为来自$\mathbb{F}_q$的$n$码字符号，然后将其存储在系统中的$n$不同节点上。最近的工作表明，通过调整$n$和$k$以适应设备故障率的变化，可以显着节省存储空间。这种调整需要代码转换：将初始$[n^I, k^I]$代码下的已编码数据转换为最终$[n^F, k^F]$代码下的等效数据的过程。默认的转换方法是重新编码数据，这会给系统资源带来很大的负担。可转换码是最近提出的用于实现资源高效转换的一类码。关于可转换代码的现有工作集中在最小化访问成本，即，在转换过程中访问的代码符号数。带宽对应于读取和传输的数据量，是另一个需要优化的重要资源。在本文中，我们开始研究的基本限制，在代码转换过程中使用的带宽和目前的建设，带宽最佳的可转换码。首先，我们使用具有可变容量边的网络信息流图来建模代码转换问题。其次，专注于MDS码和一个重要的参数制度称为合并制度，我们得到严格的带宽转换成本的下限。推导出的界限表明，带宽成本可以显着降低，即使在政权的接入成本不能降低相比，默认的方法。第三，我们提出了一个新的MDS可转换码的建设，它符合建议的下限，因此是带宽最佳的转换过程中。
2020-08-28 cs.DC cs.IT cs.NI
Convertible Codes: MSR-to-MSR Conversion with Optimal Access and Bandwidth
Southwest Jiaotong University（西南交通大学）；Information Coding and Transmission Key Laboratory of Sichuan Province（四川省信息编码与传输重点实验室）
本文研究合并机制下的可转换码，聚焦最小存储再生（MSR）设置，提出显式MSR到MSR转换方案，实现最优访问成本和转换带宽。
2026-06-27 cs.IT math.IT
Locally Repairable Convertible Codes: Improved Lower Bound and General Construction
Southwest Jiaotong University（西南交通大学）
本文提出了一种改进的下界和通用构造，用于具有局部可修复性质的转换码，展示了其在超线性长度或最大可修复性质上的应用。
2025-12-25 cs.IT math.IT
On Low Field Size Constructions of Access-Optimal Convertible Codes
针对现有合并场景下访问最优MDS可转换码构造域大小过大的问题，本文给出了更严格的最小域大小界和多参数范围的低域大小显式构造，并证明了特殊范德蒙矩阵的超正则性。
2024-05-15 cs.IT math.IT
Locally repairable convertible codes with optimal access costs
本文研究合并情形下局部可修复码的码转换问题，建立了通用LRCs转换访问代价下界，并提出访问代价达到该下界且域大小与码长成线性关系的LRCs通用构造。
2023-08-13 cs.IT math.IT
Convertible Codes for Data and Device Heterogeneity
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
本文提出可转换码，用于解决分布式存储中数据和设备异质性问题，通过高效转换机制提升存储系统的可靠性和效率。
2026-01-15 cs.IT math.IT
A Non-MDS Erasure Code Scheme For Storage Applications
本文研究了在分布式存储系统中使用冗余和自修复对节点故障，使用各种策略。在复制方法中，访问一个复制节点是足够的，以重建一个丢失的节点，而在MDS纠删编码系统，这是最佳的冗余可靠性权衡方面，一个单一的节点故障后，恢复整个存储的数据进行修复。此外，再生代码产生的存储容量和修复带宽之间的权衡曲线。本文旨在研究一种新的存储码。具体来说，我们提出了一个非MDS（2k，k）代码，容忍任何三个节点的故障，更重要的是，它是使用我们的代码，一个单一的节点故障可以通过访问只有三个节点进行修复。
2011-09-21 cs.DC cs.IT cs.NI
Tight Bandwidth Lower Bounds and Optimal Constructions of Locally Repairable Convertible Codes in the Global Split Regime
Shandong University（山东大学）；State Key Laboratory of Cryptography and Digital Economy Security, Shandong University（山东大学密码与数字经济安全国家重点实验室）；Key Laboratory of Cryptologic Technology and Information Security, Ministry of Education, Shandong University（山东大学教育部密码技术与信息安全重点实验室）；School of Cyber Science and Technology, Shandong University（山东大学网络空间科学院）
针对系统最优距离局部可修复码（LRC）在全局分裂机制下的转换，推导了稳定最优距离局部可修复转换码（LRCC）的读带宽信息论下界，并基于MDS阵列码构造了达到下界的最优码，完整刻画了参数范围g^I,g^F≤r内的最优读带宽成本。
2026-08-04 cs.IT math.IT
Distributed Storage Codes Meet Multiple-Access Wiretap Channels
我们认为{\it i）}的开销最小化的最大距离可分离（MDS）存储代码的修复一个单一的失败的节点和{\it ii）}的总安全度的自由度（S-DoF）最大化在多址复合窃听信道。我们表明，这两个问题是相连的。具体地，对于{\it optimal} MDS码的单个节点故障的开销最小化，即可以实现信息理论开销最小化的MDS码，等效于最大化多址复合窃听信道中的S-DoF。此外，我们表明，最大限度地提高了S-DoF在多路访问复合窃听信道相当于最大限度地减少了MDS代码的开销，用于修复一个离去的节点。最佳MDS码映射到全S-DoF信道，并且全S-DoF信道映射到对于一个故障节点具有最小修复开销的MDS码。我们还陈述了代码到通道和通道到代码映射的一般框架以及两个设置之间的性能界限。所有连接的基本主题是干涉对齐（IA）。当我们将IA重新描述为一个优化问题时，这两个问题之间的联系变得显而易见。具体来说，我们制定的开销最小化和S-DoF最大化的秩约束，和秩和最大秩最小化问题分别。导出的连接使我们能够将最近发现的修复码的修复策略映射到波束成形矩阵，并表征单天线多址复合窃听信道的最大S-DoF。
2010-10-04 cs.DC cs.IT cs.NI
Lower Bound on the Optimal Access Bandwidth of ($K+2,K,2$)-MDS Array Code with Degraded Read Friendly
以低延迟恢复故障磁盘中的数据（降级读取）对于擦除编码存储系统至关重要。本文讨论了具有降级读友好（DRF）特性的最大距离可分（MDS）阵列码。对于具有2个冗余节点和子分组级别为2的DRF MDS阵列码，推导了其接入带宽的下界。
2021-02-04 cs.IT math.IT
A Generic Transformation to Generate MDS Storage Codes with $δ$-Optimal Access Property
对于高速率的最大距离可分离（MDS）码，它们中的大多数被设计为通过连接所有幸存的节点来最优地修复单个故障节点。然而，在实际系统中，有时并非所有幸存的节点都可用。为了便于实际的存储系统，已经提出了几种$(n,k)$ MDS码的构造，其具有通过访问任何$d$存活节点来最优地修复任何单个失效节点的性质，其中$d\in [k+1:n-1)$。然而，所有这些都具有较大的子分组化级别，或者对于所有参数都不是明确的。为了解决这些问题，我们提出了一个通用的转换，可以将任何$(n',k')$ MDS代码转换为另一个$(n,k)$ MDS代码的最佳修复属性和最佳访问属性的任意两个节点，而其余的$n-2$节点的修复效率可以保持。通过递归地将通用变换应用于标量MDS码多次，我们得到了一个MDS码的最佳修复属性和最佳访问属性的所有节点，这优于以前已知的MDS码的子分组化水平或参数的灵活性。
2021-07-21 cs.IT math.IT
Convertible Polynomial Evaluation Codes in the Merge Regime: A Skew-Polynomial Framework
School of Mathematics, Southwest Jiaotong University（西南交通大学数学学院）；Information Coding and Transmission Key Lab of Sichuan Province, CSNMT Int. Coop. Res. Centre (MoST), Southwest Jiaotong University（四川省信息编码与传输重点实验室，西南交通大学）
本文开发合并机制下可转换码的斜多项式代数框架，提出两种斜多项式评估码转换模板，实现线性化里德-所罗门码、加比杜林码的合并转换，达到按符号访问最优成本。
2026-08-26 cs.IT math.IT
Multi-Layer Transformed MDS Codes with Optimal Repair Access and Low Sub-Packetization
$(n,k)$最大距离可分离（MDS）码具有最优修复访问，如果实现从$d$存活节点访问的符号的最小数目，其中$k+1\le d\le n-1$。现有的结果表明，$(n,k,d)$高码率的子分组化$α$（即，$k/n>0.5$）具有最佳修复访问的MDS代码至少是$(d-k+1)^{\lceil\frac{n}{d-k+1}\rceil}$。在本文中，我们提出了一类多层变换MDS码，使得子分组是$(d-k+1)^{\lceil\frac{n}{(d-k+1)η}\rceil}$，其中$η=\lfloor\frac{n-k-1}{d-k}\rfloor$，和修复访问是最佳的任何单个节点。我们表明，所提出的多层变换MDS码的子分组严格小于现有的已知下限时，$η=\lfloor\frac{n-k-1}{d-k}\rfloor>1$，实现通过限制选择的$d$特定的助手节点在修复故障节点。我们进一步提出了多层变换的EVENODD码，具有最佳的修复访问的任何单个节点和较低的子分组比现有的二进制MDS阵列码具有最佳的修复访问的任何单个节点。与我们的多层变换，我们可以设计新的MDS码，具有低计算复杂度的属性，最佳的修复访问任何单个节点，和相对较小的子分组，所有这些都是至关重要的分布式存储系统的可靠性。
2019-07-23 cs.IT math.IT
A Generic Transformation to Enable Optimal Repair in MDS Codes for Distributed Storage Systems
我们提出了一种通用转换，可以将任何非二进制$(n=k+r,k)$最大距离可分离（MDS）代码转换为同一字段上的另一个$(n,k)$ MDS代码，使得1）一些任意选择的$r$节点具有最佳修复带宽和最佳重建访问，2）对于剩余的$k$节点，归一化修复带宽和归一化重建访问（在文件大小上）被保留，3）子分组化级别仅增加因子$r$。两个直接的应用程序，这种通用的转换。第一个应用是我们可以把任何一个非二进制MDS码的最佳修复带宽或最佳重建访问的系统节点，到一个新的MDS码具有相应的修复最优的所有节点。第二个应用是，通过多次应用变换，任何非二进制$(n,k)$标量MDS码可以被转换成具有最优修复带宽和用于所有节点或仅节点子集的最优重建访问的$(n,k)$ MDS码，其子分组化级别也是最优的。
2018-08-23 cs.IT math.IT
MDS Codes Based Group Coded Caching in Fog Radio Access Networks
在本文中，我们研究了基于最大距离可分离（MDS）码的分组编码缓存在雾无线接入网（F-RAN）。我们的目标是最小化非均匀文件流行情况下的平均前传速率。首先，提出了一种基于MDS编码和文件分组的编码放置方案，在提供编码数据包的同时，为最流行的文件分配更多的缓存。接着，提出了一种基于雾接入点（F-AP）分组的编码传输方案，以满足来自不同组的文件请求。此外，平均前传速率的封闭形式的表达式推导。最后，对编码缓存方案的相关参数进行了优化，充分利用了MDS编码和文件分组带来的好处。仿真结果表明，我们提出的方案获得了显着的性能改善现有的几个缓存方案的前传速率降低。
2022-06-23 cs.IT math.CO math.IT
A Generic Transformation for Optimal Node Repair in MDS Array Codes over $\mathbf{F}_2$
对于高速率线性系统最大距离可分离（MDS）码，大多数早期的构造最初可以最优地修复所有的系统节点，但不是所有的奇偶校验节点。幸运的是，这个问题首先由Li等人在（IEEE Trans.Inform. Theory，64（9），6257 - 6267，2018），其中提出了一种可以将任何非二进制MDS阵列代码转换为具有所需属性的另一种代码的变换。但是，转换不适用于二进制MDS阵列代码。在本文中，我们解决这个问题，提出了另一个通用的转换，可以转换任何$[n, k]$二进制MDS阵列码到一个新的，这赋予任何$r=n-k\ge2$选择的节点具有最佳的修复带宽和最佳的重建访问属性，并在同一时间，在一定条件下，保留了归一化的修复带宽/重建访问剩余的$k$节点。作为两个直接的应用，我们证明了：1）通过多次应用该变换，任何二进制MDS阵列码都可以转换为对所有节点具有最优重建访问的二进制MDS阵列码; 2）任何对系统节点具有最优修复带宽或最优重建访问的二进制MDS阵列码都可以转换为对所有节点具有相应最优性质的二进制MDS阵列码。
2021-11-08 cs.IT math.IT
Binary MDS Array Codes with Optimal Repair
考虑由具有$k$信息列和$r$奇偶校验列的位的$m\times (k+r)$阵列组成的二进制最大距离可分离（MDS）阵列码，使得$k+r$列中的任何$k$足以重构$k$信息列。我们的目标是为二进制MDS阵列代码提供{ \em最佳修复访问}，这意味着修复任何单个故障信息或奇偶校验列所触发的带宽最小化。在本文中，我们提出了一个通用的二进制MDS阵列代码的转换框架，使用EVENODD代码作为一个激励的例子，以支持最佳的修复访问$k+1\le d \le k+r-1$，其中$d$表示的非故障列连接修复的数量;请注意，当$d<k+r-1$，一些选定的$d$列在修复一个失败的列是特定的。此外，我们展示了我们的转换框架如何适用于一个例子的二进制MDS阵列码的渐近最佳修复访问的任何单一的信息列，并使渐近或完全最佳的修复访问的任何列。此外，我们提出了一个新的变换的EVENODD码与两个奇偶校验列，使现有的有效修复性能的任何信息列保持和奇偶校验列的修复访问是最佳的。
2019-08-28 cs.IT math.IT
Optimal Repair/Access MDS Array Codes with Multiple Repair Degrees
在文献中，大多数已知的具有最优修复特性的高速率$(n,k)$ MDS阵列码仅支持单个修复度（即，在修复过程期间接触的帮助节点的数量）$d$，其中$k\le d\le n-1$。然而，在实际的存储系统中，可用节点的数量经常变化。因此，优选构造具有多个修复度和所有节点的最佳修复特性的$(n,k)$ MDS阵列码。据我们所知，文献中只有两个MDS阵列码具有这样的性质，它们是由Ye和Barg（IEEE Trans. Inform. Theory，63（10），2001-2014，2017）.然而，它们的子分组化水平相对较大。本文提出了一种通用的MDS阵列码构造方法，该方法可以将具有单一修复度的MDS阵列码转化为具有多个修复度的MDS阵列码，并且在保持剩余节点的修复效率和修复度的前提下，使阵列码具有最优的修复性能。作为一般构造方法的一个应用，在有限域上得到了具有多个修复度和所有节点最优访问特性的高速率MDS阵列码的显式构造.特别地，子分组化级别远小于由Ye和Barg提出的关于相同参数$n$和$k$的两个码的子分组化级别。
2022-05-26 cs.IT math.IT
MDS Array Codes with Optimal Rebuilding
MDS阵列码广泛用于存储系统中以保护数据不被擦除。我们解决的\emph{rebuilding ratio}问题，即，在擦除的情况下，什么是需要被访问，以重建\emph{exactly}丢失的信息的剩余信息的分数？很明显，当擦除的数量等于MDS码可以纠正的最大擦除数量时，则重建比率为1（访问所有剩余信息）。然而，有趣的（也是更实际的）情况是当擦除的数量小于代码的擦除校正能力时。例如，考虑一个可以纠正两个擦除的MDS代码：为了纠正一个擦除，需要访问的最小信息量是多少？以前的工作表明，重建比是有界的1/2和3/4之间，然而，确切的值是作为一个开放的问题。在本文中，我们解决了这个公开的问题，并证明了一个单一的擦除的情况下，与2-擦除纠错码，重建比为1/2。在一般情况下，我们构造了一类新的$r$纠删MDS阵列码，它在单次纠删的情况下具有最优的重构比$\frac{1}{r}$。我们的阵列码具有高效的编码和解码算法（对于$r=2$的情况，他们使用大小为3的有限域）和最佳更新属性。
2011-03-19 cs.DC cs.IT math.IT
Bandwidth Cost of Locally Repairable Convertible Codes in the Global Merge Regime
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文研究了在全局合并模式下局部可修复可转换码的带宽成本限制，推导了非平凡的下界，并证明了Maturana和Rashmi的构造在广泛参数范围内是带宽最优的。
2026-04-16 cs.IT math.IT
Accelerating Data Access for Single Node in Distributed Storage Systems via MDS Codes
本文提出两种算法，利用MDS码在不同分布下降低分布式存储系统单节点数据访问延迟，理论预期降低比率分别为特定公式，最坏情况降低超60%，仿真验证有效。
2025-01-20 cs.IT math.IT
On Sub-Packetization and Access Number of Capacity-Achieving PIR Schemes for MDS Coded Non-Colluding Servers
考虑分布式存储系统上的私有信息检索（PIR）问题，其中通过使用$[N,K]$ MDS代码跨$N$服务器存储$M$记录。为了简单起见，这个问题通常被称为编码PIR问题。2016年，Banawan和Ulukus设计了第一个实现容量的编码PIR方案，该方案具有子分组化$KN^{M}$和访问数$MKN^{M}$，其中容量表征每单位数据检索的最小下载大小，子分组化和访问数是与实现复杂度密切相关的两个度量。在本文中，我们专注于最小化的子分组和访问数量的线性容量实现编码PIR计划。我们首先确定子分组化和访问数的下限，分别是$Kn^{M-1}$和$MKn^{M-1}$，在非平凡的情况下（即$N\!>\!K\!\geq\!1$和$M\!>\!1$），其中$n\!=\!N/{\rm gcd}(N,K)$。然后，我们设计了一个一般的线性容量实现编码PIR计划，同时达到这两个界限，这意味着两个界限的紧密性。
2019-01-17 cs.IT math.IT
Weakly Secure MDS Codes for Simple Multiple Access Networks
我们考虑一个简单的多址接入网络（SMAN），其中单位速率的$k$源通过$n$中继将其数据发送到一个共同的信宿。每个继电器连接到接收器和某些源。如果窃听少于$k$中继-宿链路的被动攻击者不能重建来自每个源的数据，则编码方案（用于中继）是弱安全的。我们证明了存在一个弱安全的最大距离可分（MDS）编码方案的继电器当且仅当每个子集的$\ell$继电器必须集体连接到至少$\ell+1$源，所有$0 < \ell < k$。此外，我们证明了这个条件可以在$n$和$k$中在多项式时间内得到验证。最后，给定一个SMAN满足上述条件，我们提供了另一个多项式时间算法修剪网络，直到它有一个稀疏的源中继链路，仍然支持弱安全MDS编码方案。
2015-04-22 cs.IT math.CO math.IT
An Explicit Construction of Systematic MDS Codes with Small Sub-packetization for All-Node Repair
提出了一种显式构造的系统MDS码，称为哈希标签+码，具有任意的子分组化水平的所有节点修复。它示出，即使对于小的子分组化水平，哈希标签+代码实现最佳的MSR点的任何奇偶校验节点的修复，而单个系统节点的修复带宽取决于子分组化水平。与文献中的其他代码相比，HashTag+代码在维修期间访问和传输的平均数据量方面节省了20%至40%。
2018-06-25 cs.DC cs.IT math.IT
Explicit constructions of optimal-access MDS codes with nearly optimal sub-packetization
具有长度$n,$维度$k=n-r$和子分组化$l$的$(n,k,l)$ MDS阵列码由有限域$F,$上的$l\times n$矩阵形成，其中矩阵的每一列存储在分布式存储系统中的单独节点上并被视为码字的坐标。故障节点的修复可以通过访问一组$d\le n-1$助手节点来执行。如果在每个助手节点上访问的数据量满足此数量的下限，则该代码被称为具有最佳访问属性。在我们以前的工作中，对于任何$n$和$r,$，我们提出了一个显式的结构的最优接入MDS码与子分组$l=r^{n-1}.$的最优接入MDS码的子分组$l$满足界$l\ge r^{(k-1)/r}.$在本文中，我们采取的问题，减少子分组值$l$，使其接近下界。本文构造了一类具有$l=r^{\lceil n/r\rceil},$的显式最优存取码，它与最优值相差至多1倍$r^2.$。这些码可以在任意长为$|F|\ge r\lceil n/r\rceil,$的有限域$F$上构造，并提供低复杂度的编译码过程。我们还定义了一个版本的修复问题，桥梁的上下文再生代码和代码的局部约束（LRC代码），称之为最佳访问组修复。在该变型中，我们假设$n=sm$节点的集合被划分为大小为$s,$的$m$修复组，并且只要$d$助手节点包括来自与故障节点相同的组的所有其他$s-1$节点，就要求用于修复的访问数据量尽可能最小。对于这个问题，我们构造了一族具有群最优存取性质…
2017-07-28 cs.IT math.IT
The MDS Queue: Analysing the Latency Performance of Erasure Codes
为了经济地扩展，数据中心越来越多地将其数据存储方法从使用简单的数据复制发展到使用更强大的擦除码，擦除码提供与复制相同的可靠性水平，但存储成本显著降低。特别地，众所周知，最大距离可分离（MDS）码，例如里德-所罗门码，提供最大存储效率。虽然在档案存储系统中使用代码来提供改进的可靠性是很好理解的，在档案存储系统中，数据被不太频繁地访问（或所谓的“冷数据”），但是代码在更频繁地访问和活动的“热数据”的存储中的作用不太清楚，在档案存储系统中，延迟是关键度量。本文从排队论的角度对基于MDS码的数据存储系统进行了研究，称之为“MDS排队”。“我们分析了MDS队列的（平均）延迟性能，为此我们提出了有见地的调度策略，这些策略形成了性能的上限和下限，并且被观察到非常严格。还提供了大量的模拟，并用于验证我们的理论分析。我们还采用MDS队列的框架来分析在分布式数据存储中执行所谓的降级读取（部分数据的读取）的不同方法。
2013-11-11 cs.IT cs.NI math.IT
Generic Construction of Optimal-Access Binary MDS Array Codes with Smaller Sub-packetization
University of Science and Technology Beijing（北京科技大学）；Huawei Technologies Co., Ltd.（华为技术有限公司）
针对二进制MDS阵列码单节点故障修复问题，提出两种通用构造方法，基于基础码构建出具有最优访问带宽的码C₁和C₂，其中C₂的子分组化程度为现有同类码中最小。
2025-11-12 cs.IT math.IT
Optimal Rebuilding of Multiple Erasures in MDS Codes
MDS阵列码由于其计算高效的编码和解码过程而广泛用于存储系统中。具有$r$冗余节点的MDS代码可以通过访问幸存节点中的所有剩余信息来纠正任何$r$节点擦除。然而，在实践中，对于$1\le e<r$，$e$擦除是更可能的失败事件。因此，一个自然的问题是，我们需要访问多少信息才能重建$e$存储节点？我们将重建率定义为在重建$e$擦除期间访问的剩余信息的分数。在我们以前的工作中，我们构造了MDS码，称为之字形码，实现了最佳的重建率的$1/r$的任何系统节点的重建时，$e=1$，然而，所有的信息需要访问重建的奇偶校验节点擦除。（归一化）修复带宽被定义为在重建过程中从剩余节点传输的信息的分数。对于不一定是MDS的代码，Dimakis等人提出了再生代码框架，其中任何$r$擦除都可以通过访问一些剩余信息来纠正，并且任何$e=1$擦除都可以从具有最佳修复带宽的幸存节点的一些子集重建。在这项工作中，我们研究了3个问题的重建代码：（i）我们显示了一个基本的权衡之间的存储大小的节点和修复带宽类似的再生代码框架，并显示锯齿形码实现最佳的重建率的$e/r$的MDS码，对于任何$1\le e\le r$。(ii)我们构造系统的代码，实现最佳重建率的$1/r$，任何系统或奇偶校验节点擦除。(iii)我们提出了锯齿形码的纠错算法，特别是演示了如何这些代码可以纠正超出其最小汉明距离。
2016-03-03 cs.IT math.IT
Zigzag Codes: MDS Array Codes with Optimal Rebuilding
MDS阵列码广泛用于存储系统中以保护数据不被擦除。我们解决了\emph{rebuilding ratio}问题，即在擦除的情况下，需要访问剩余信息的比例是多少，以便重建\emph{exactly}丢失的信息？很明显，当擦除的数量等于MDS码可以纠正的最大擦除数量时，则重建比率为1（访问所有剩余信息）。然而，有趣的和更实际的情况是当擦除的数量小于代码的擦除校正能力。例如，考虑一个可以纠正两个擦除的MDS代码：为了纠正一个擦除，需要访问的最小信息量是多少？以前的工作表明，重建比是有界的1/2和3/4之间，然而，确切的值是作为一个开放的问题。在本文中，我们解决了这个公开的问题，并证明了一个单一的擦除的情况下，与2-擦除纠错码，重建比为1/2。在一般情况下，我们构造了一类新的$r$纠删MDS阵列码，它在$e$纠删的情况下具有$\frac{e}{r}$的最佳重建率，即$1 \le e \le r$。我们的阵列码具有高效的编码和解码算法（对于$r=2$的情况，它们使用大小为3的有限域）和最佳更新属性。
2011-12-02 cs.IT math.IT
Access vs. Bandwidth in Codes for Storage
最大距离可分离码（MDS）广泛应用于存储系统中，以防止磁盘（节点）故障。如果节点能够存储某个字段的符号量，则该节点被称为在该字段$\mathbb{F}$上具有容量$l$。$(n,k,l)$ MDS码使用容量为$l$的$n$节点来存储$k$信息节点。MDS属性保证对任何$n-k$节点故障的恢复能力。\emph{optimal bandwidth}（分别\emph{optimal access}）MDS代码通信（分别访问）在单个故障节点的修复过程期间的最小数据量。结果表明，该数量等于存储在每个节点中的数据的$1/(n-k)$的一部分。在以前的最佳带宽构造中，$l$在具有渐近速率$<1$的码中与$k$多项式缩放。此外，在具有恒定数目的奇偶校验的构造中，即速率接近1，$l$相对于r.t. $k$。在本文中，我们集中在后一种情况下的恒定数目的奇偶校验$n-k=r$，并提出以下问题：给定一个节点的容量$l$是什么最大数量的信息盘$k$在一个最佳的带宽（分别）。访问）$(k+r,k,l)$ MDS代码。我们给出了一般情况下的上界，并在特殊情况下的两个重要的家庭的代码的两个紧界。此外，界限表明，在某些情况下，最佳带宽代码有更大的$k$比最佳访问代码，因此这两个措施是不等价的。
2013-03-15 cs.IT math.IT
MDS Codes with Progressive Engagement Property for Cloud Storage Systems
快速高效的故障恢复是具有大量存储节点的云存储系统面临的新挑战。存储节点故障时的关键恢复度量是修复带宽成本，其指的是为了重新生成丢失的数据而必须下载的数据量。由于所有幸存的节点并不总是可访问的，我们打算引入一类的最大距离可分离（MDS）码，可以重复使用时，所选节点的数量变化，但收益率接近最优修复带宽。这样的代码提供了参与更多幸存节点的灵活性，有利于减少修复带宽，而无需重新设计代码结构和改变现有节点的内容。我们称MDS码的这种性质为渐进参与。这个名字来自于这样一个事实，即如果发生故障，它表明，最好的策略是根据其访问成本（延迟，跳数，流量负载或可用性一般），直到修复带宽或访问成本约束得到满足，以逐步从事幸存的节点。我们认为，现有的MDS码不能满足渐进参与性质。随后，我们提出了一个搜索算法，以找到一组新的代码命名为旋转码，既渐进的参与和MDS属性。此外，我们说明了如何现有的置换码可以通过修改原始的恢复方案提供渐进的参与。仿真结果比较了不同参与节点数时，这类编码的修复带宽性能以及它们的单次故障恢复速度。
2016-05-23 cs.IT math.IT
On the Existence of Optimal Exact-Repair MDS Codes for Distributed Storage
（n，k）最大距离可分离（MDS）纠删码的高修复代价最近促使一类新的码（称为再生码）以最佳方式权衡存储代价和修复带宽。在本文中，我们解决了带宽最优的（n，k，d）精确修复MDS码，它允许任何失败的节点被修复，并访问任意d个幸存节点，其中k<=d<=n-1。我们证明了对于任意可容许的（n，k，d），都存在能达到最小修复带宽（匹配割集下界）的精确修复MDS码，即，k<n且k<=d<=n-1。我们的方法是基于干扰对齐技术，并使用矢量线性码，允许分裂成任意小的子符号的符号。
2010-04-26 cs.IT math.IT
Repair-Optimal MDS Array Codes over GF(2)
最大距离可分阵列码（MDS）是近年来提出的一种具有高码率和最优修复性能的阵列码。这些代码可以应用在分布式存储系统中，在那里它们最大限度地减少了恢复故障节点所需的通信和磁盘访问。然而，所提出的代码的编码和解码算法使用阶数大于2的有限域上的算术，这可能导致复杂的实现。在这项工作中，我们提出了一个2-奇偶MDS阵列码的建设，允许最佳的修复失败的信息节点只使用XOR操作。当用户改变单个信息位时，通过允许更新更多的奇偶校验位来实现字段顺序的减少。
2013-02-17 cs.IT math.IT
On Codes for Optimal Rebuilding Access
MDS（最大距离可分离）阵列码由于其计算高效的编码和解码过程而广泛用于存储系统中。具有r个冗余节点的MDS码可以通过访问（读取）系统节点和奇偶校验（冗余）节点中的所有剩余信息来校正任何擦除。然而，在实践中，一次擦除是最有可能的故障事件;因此，一个自然的问题是，为了重建一个存储节点，我们需要访问多少信息？我们将重建率定义为在单个擦除重建期间访问的剩余信息的分数。在我们以前的工作中，我们表明，1/r的最佳重建比是可实现的（使用我们新构造的阵列码）重建任何系统节点，然而，所有的信息需要访问重建的奇偶校验节点。也就是说，构造具有1/r的重建比的阵列码被留下作为开放问题。在本文中，我们解决了这个开放的问题，并提出了阵列代码，实现下界的1/r重建任何单一的系统或奇偶校验节点。
2011-07-08 cs.DC cs.IT math.IT
Explicit constructions of high-rate MDS array codes with optimal repair bandwidth
最大距离可分离码（MDS）是一种最优纠错码，在这个意义上，它们为给定数量的奇偶校验节点提供最大的容错能力。假设具有$k$信息节点和$r=n-k$奇偶校验节点的MDS码用于在分布式存储系统中编码数据。已知的是，如果$n$节点中的$h$不可访问并且$d$幸存（助手）节点用于恢复丢失的数据，则我们需要下载存储在每个助手节点中的数据的至少$h/(d+h-k)$部分（Dimakis et.例如，2010和Cadambe等人，2013年）。如果从任何$d$助手节点修复任何$h$擦除节点都达到了这个下限，我们就说MDS代码具有$(h,d)$最优修复属性。研究了具有最优修复特性的高速MDS阵列码。在文献中，这种代码的显式构造仅适用于最多有3个奇偶校验节点的情况，并且这些现有的构造只能通过访问所有幸存节点来最佳地修复单个节点故障。本文给出了两种同时对所有$h\le r$和$k\le d\le n-h$具有$(h,d)$ -最优修复性质的MDS阵列码的显式构造.第一族中的码可以在任何基域$F$上构造，只要$|F|\ge sn,$，其中$s=\text{lcm}(1,2,\dots,r).$这些码的编码、解码、故障节点的修复和更新过程都具有低复杂度。第二类码具有最优的访问特性，可以在任意基域$F$上构造，只要$|F|\ge n+1.$。此外，两类码在修复失效节点时都具有最优的容错能力。我们还构造了其他几…
2016-04-08 cs.IT math.IT
Efficient Repair of (k+2, k) Degraded Read Friendly MDS Array Codes With Sub-packetization 2
City University of Hong Kong（香港城市大学）
本文提出两种降级读友好MDS阵列码构造，分别实现最小修复带宽和双修复机制，适用于任意码长。
2026-11-04 cs.IT math.IT
A Class of Minimum Storage Cooperative Regenerating Codes with Low Access Property
本文研究了一种改进的MDS码的修复方案。在协作修复模型下，所得到的修复方案对多个失效节点具有最优带宽。此外，修复方案具有相对较低的访问性能，其中访问的数据的数量小于最佳值的两倍。
2022-01-17 cs.IT math.IT
A Multistage Method for SCMA Codebook Design Based on MDS Codes
稀疏码多址接入（SCMA）最近已被提出用于下一代无线通信标准。SCMA系统设计涉及指定若干参数。为了简化程序，大多数工程考虑多级设计方法。这些方法通常强调两个主要阶段：稀疏签名设计（相当于资源分配）和码本设计。在本文中，我们提出了一种新的SCMA码本设计方法。所提出的方法认为SCMA码本结构的基础向量空间从经典的块码。特别是，当使用最大距离可分离（MDS）码，我们提出的设计提供了最大的信号空间分集与一个相对较小的字母。小字母的使用还有助于保持码本中的期望属性，诸如低峰均功率比和低复杂度检测。
2019-05-07 cs.IT eess.SP math.IT
On the Existence of MDS Codes Over Small Fields With Constrained Generator Matrices
我们研究的最大距离可分（MDS）码的生成矩阵具有指定的支持（即具有指定的位置的零项）的小字段上的存在性。这个问题统一和简化了Yan和Sprintson（NetCod'13）关于弱安全合作数据交换、Halbawi等人（arxiv'13）关于简单多址网络的分布式Reed-Solomon码和Dau等人（ISIT'13）关于具有平衡和稀疏生成矩阵的MDS码的最近工作中提出的问题。如果生成矩阵的特定支集满足MDS条件，则只要$q \geq n + k - 1$，就存在这样的$[n,k]_q$ MDS码，这一条件可以在多项式时间内得到验证.我们提出了一个组合的方法来解决这个猜想，并证明了该猜想成立的一个特殊情况下，零坐标集的生成矩阵的行共享彼此（成对）在最多一个共同的元素。基于我们的数值结果，对所有的$k \leq 7$也验证了这个猜想.我们的方法是基于一个新的推广著名的霍尔的婚姻定理，它允许（重叠）多个代表，而不是一个单一的代表为每个子集。
2014-01-16 cs.DM cs.IT math.IT
Capacity-Achieving Private Information Retrieval Codes from MDS-Coded Databases with Minimum Message Size
我们考虑构建容量实现的线性代码与最小的消息大小的私人信息检索（PIR）从$N$非串通数据库，其中每个消息是使用最大距离可分离（MDS）代码编码，使它可以恢复访问任何$T$数据库的内容。它示出的最小消息大小（有时也被称为子分组因子）是显着的，事实上是指数，低于以前认为的。更准确地说，当$K>T/\textbf{gcd}(N,T)$，其中$K$是系统中的消息的总数和$\textbf{gcd}(\cdot,\cdot)$意味着最大公约数，我们建立，通过提供新的代码结构和匹配的逆，最小的消息大小为$\textbf{lcm}(N-T,T)$，其中$\textbf{lcm}(\cdot,\cdot)$意味着最小公倍数。另一方面，当$K$是小的，我们表明，它实际上是可能的设计代码的消息大小甚至小于$\textbf{lcm}(N-T,T)$。
2020-01-22 cs.IT math.IT
A Capacity-Achieving $T$-PIR Scheme Based On MDS Array Codes
假设包含$M$记录的数据库在每个$N$服务器中被复制，并且用户想要通过访问服务器来私人地检索一个记录，使得检索到的记录的身份对于任何直到$T$服务器都是秘密的。为此目的设计的方案被称为$T$ -私有信息检索（$T$-PIR）方案。本文主要研究$T$-PIR格式的场尺寸.我们设计了一个通用的容量可达的$T$-PIR方案，它的查询由一些{ \rm MDS }数组码产生。它仅需要字段大小$q\geq\sqrt[\ell]{N}$，其中$\ell=\min\{t^{M-2},(n-t)^{M-2}\}$、$~t=T/{\rm gcd}(N,T)$、$~n=N/{\rm gcd}(N,T)$，并且具有最佳子分组化$Nn^{M-2}$。与现有的容量实现的$T$-PIR方案相比，我们的方案具有以下优点，即，它的字段大小单调减少的记录数$M$的增长。具体地，二进制字段足以构建与$M\geq 2+\lceil\log_μ\log_2N\rceil$一样长的实现容量的T-PIR方案，其中$μ=\min\{t,n-t\}>1$。
2019-01-17 cs.IT math.IT
A New Design of Binary MDS Array Codes with Asymptotically Weak-Optimal Repair
二进制最大距离可分（MDS）阵列码是一类特殊的用于分布式存储的纠删码，它不仅能以最小的存储冗余提供容错，而且还能实现低计算复杂性。它们是通过将$k$信息列编码成$r$奇偶校验列来构造的，其中列中的每个元素是比特，使得$k+r$列中的任何$k$足以恢复所有信息比特。除了提供容错能力外，在实际应用中提高修复性能也至关重要。具体来说，如果单个列失败，我们的目标是通过从$d$健康列下载最少的位来最小化修复带宽，其中$k\leq d\leq k+r-1$。如果MDS代码的一列出现故障，则已知我们需要下载存储在每个$d$健康列中的数据的至少$1/(d-k+1)$部分。如果通过访问任意$d$健康列修复故障列达到了这个下限，我们就说MDS代码具有最佳修复。然而，如果这样的下限仅由$d$特定的健康列实现，则我们说MDS代码具有弱最优修复。在本文中，我们提出了两个显式构造的二进制MDS阵列码具有更多的奇偶校验列（即，$r\geq 3$），其中$k+1\leq d\leq k+\lfloor(r-1)/2\rfloor$，并且“渐近”意味着修复带宽在$d$中渐近地达到最小值。第一种构造中的码具有奇数个奇偶校验列，并且对任何一个信息失效都是渐近弱最优修复;而第二种构造中的码具有偶数个奇偶校验列，并且对任何一个列失效都是渐近弱最优修复。
2019-06-21 cs.IT math.IT
Linear exact repair schemes for free MDS and Reed-Solomon codes over Galois rings
针对Galois环上分布式存储的节点故障恢复问题，本文提出自由MDS码的线性精确修复方案，并专门构造了全长Reed-Solomon码的线性修复方案。
2025-06-10 cs.IT math.IT math.RA
Efficient distribution and improved security for reliable cloud storage system
分布式数据存储系统是由大量的节点通过网络互连而构成的。这种对等网络中的每个节点都是脆弱的，并且存在潜在的攻击风险。攻击者可以窃听节点并可能修改其数据。因此，分布式存储系统应该是安全的，除了满足重建和修复的要求。我们构造了一个比基于再生码的存储系统效率更高的分布式存储系统--Twin MDS码框架。我们证明了这种Twin MDS码框架在分发过程中的性能优于MBR码，与MSR码相当，并与MBR和MSR码的安全性能进行了比较。这种双MDS代码框架在窃听者模型中进行检查，其中被动攻击者可以在修复过程中访问存储的数据或/和下载的数据。我们证明了双MDS代码框架管理更好的结果比MBR和MSR代码在系统中的安全性。
2016-02-05 cs.IT math.IT
Reducing The Sub-packetization Level of Optimal-Access Cooperative MSR Codes
Ministry of Education Key Laboratory of Mathematics and Information Networks, School of Mathematical Sciences, Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学数学与信息技术教育部重点实验室）；School of Information Science and Engineering, Shandong Agricultural University（山东农业大学信息科学与工程学院）
本文提出了一种降低最优访问协作MSR码子分包级别的方法，通过设计两种关键MDS数组码并多次堆叠，实现了在两个擦除情况下更高效的存储方案。
2026-01-14 cs.IT math.IT
Further Progress on the GM-MDS Conjecture for Reed-Solomon Codes
设计好的纠错码，其生成矩阵具有支持约束，即，其中仅允许生成矩阵的某些项为非零，已经发现了许多最近的应用，包括在分布式编码和存储、多址网络和弱安全数据交换中。在局部可修码的设计中，经常会遇到奇偶检验矩阵具有支撑约束的对偶问题。这里的核心问题是设计代码的最大可能的最小距离，受给定的支持约束的生成矩阵。最小距离的上界可以通过一组单例界来获得，这可以被认为是割集界。此外，众所周知，如果字段大小足够大，任何服从支持约束的随机生成矩阵将以高概率实现最大最小距离。由于随机码不容易解码，因此使用高效解码器的结构化码，例如，Reed-Solomon码是更理想的。Dau等人的GM-MDS猜想指出，满足生成矩阵支持约束的所有码上的最大最小距离可以由Reed Solomon码获得。如果这是真的，将产生重大后果。该猜想已在几种特殊情况下得到证明：当码的维数k小于或等于5时，当生成矩阵m的行上的不同支撑集的数目小于或等于3时，或当生成矩阵稀疏且平衡时.在本文中，我们报告了GM-MDS猜想的进一步进展。特别是，我们表明，猜想是真实的所有m小于等于6。这推广了所有以前已知的结果（除了稀疏和平衡的情况下，这是一个非常特殊的支持约束）。
2018-01-24 cs.IT math.IT
Zigzag Codes Revisited: From Optimal Rebuilding to Small Skip Cost and Small Fields
本文改进 zigzag 阵列码，给出小字段下保证 MDS 性质的显式系数，并提出排序与子群框架以实现低跳脱代价、低 RFR 且保持最优修复性能的构造。
2025-09-27 cs.IT math.IT
Enabling optimal access and error correction for the repair of Reed-Solomon codes
最近，里德所罗门（RS）码被证明具有一个修复方案，支持修复失败的节点与最佳的修复带宽。在本文中，我们在两个方向上推广了这个结果。首先，我们提出了一种新的修复方案，用于在[Tamo-Ye-Barg，{ \em IEEE Transactions on信息论}，第65卷，2019年5月]中构建的RS码，并表明我们的新方案对帮助节点提供的错误信息具有鲁棒性，同时保持最佳修复带宽。其次，我们构造了一个新的家庭的RS码的最佳访问的任何单个故障节点的修复。我们还表明，构造的代码可以容纳这两个功能，支持最佳的纠错能力的最佳访问修复。超越RS码，我们还证明了任何标量MDS码的最佳修复带宽允许修复方案的最佳访问属性。
2020-01-20 cs.IT math.IT
Optimal repair of Reed-Solomon codes: Achieving the cut-set bound
分布式存储的编码在编码理论中引起了一系列新的问题，这些问题与减少系统中节点间通信的需要有关。大量最近的论文解决了通过访问$d$ { \em助手节点}上的信息来优化为修复单个故障节点而下载的信息总量（修复带宽）的问题，其中$k\le d\le n-1.$通过所谓的割集界限（Dimakis等人，2010），使用$d$助手节点的$(n,k=n-r)$ MDS码的修复带宽至少是$dl/(d+1-k),$，其中$l$是节点的大小。此外，MDS阵列码的许多已知构造满足这个等式的界限。在相关但独立的工作中，Guruswami和Wootters（2016）研究了Reed-Solomon（RS）码的修复，表明这些码可以使用比普通方法更小的带宽进行修复。与此同时，他们的工作以及后续的论文停止了建设RS码（或任何标量MDS码），满足割集界的平等，这一直是一个开放的问题，在编码理论。在这项工作中，我们提出了一个解决这个问题，构造RS码的长度$n$的字段$q^l, l=\exp((1+o(1))n\log n)$，满足割集界。我们还证明了一个几乎匹配的下限$l$，超指数缩放是必要的，充分的，实现使用线性修复计划的割集界。更准确地说，我们证明了对于标量MDS码（包括RS码），要满足这个界限，子分组$l$必须满足$l \ge \exp((1+o(1)) k\log k).$
2017-05-31 cs.IT math.IT
A Generalization of Array Codes with Local Properties and Efficient Encoding/Decoding
最大距离可分离（MDS）阵列码由$m\times (k+r)$阵列组成，使得$k+r$列中的任何$k$足以检索所有信息符号。扩展Blaum Roth（EBR）码和扩展独立奇偶校验（EIP）码是两类MDS阵列码，它们可以通过局部访问列中的一些其他符号来修复列中的任何一个符号，其中列中的符号的数量$m$是素数。通过推广EBR和EIP码的结构，我们提出了新的MDS阵列码，使得任何一个符号都可以局部恢复，并且一列中的符号数不仅可以是素数，而且可以是奇素数的幂.此外，我们提出了一个有效的编码/解码方法的建议广义EBR（GEBR）和广义EIP（GEIP）码的基础上的LU分解的范德蒙矩阵。我们表明，所提出的解码方法具有较低的计算复杂性比现有的方法。此外，我们表明，建议GEBR码有一个更大的最小符号距离和更大的恢复能力的擦除线的一些参数相比，EBR码。我们证明了对于任何参数$r$，EBR码都可以恢复任何斜率的$r$擦除线，这在[2]中是一个公开的问题。
2022-09-12 cs.IT math.IT
A Combinatorial Perspective on Random Access Efficiency for DNA Storage
本文从组合视角研究DNA存储随机访问覆盖深度问题，引入新技术刻画其组合本质，建立两个通用公式确定任意生成矩阵的最大期望读取次数，提出恢复平衡码概念及充分条件，还通过改进码族矩阵表明编码链与信息链复制的特定组合可实现最佳性能。
2025-09-24 cs.IT math.CO math.IT
An Improved Sub-Packetization Bound for Minimum Storage Regenerating Codes
分布式存储系统采用代码来提供对多个存储盘的故障的弹性。具体地，$(n, k)$ MDS码将$k$符号存储在$n$盘中，使得整个系统容忍多达$n-k$盘的故障。然而，仍然需要访问至少$k$磁盘来修复单个擦除。为了减少修复带宽，使用阵列码，其中存储的符号或分组是长度为$\ell$的向量。MDS阵列代码具有使用存储在剩余磁盘中的数据的一部分$1/(n-k)$来修复单个擦除的潜力。我们引入新的分析方法，利用翻译的存储系统的问题转化为一组操作员和子空间的几何问题。特别是，我们问以下问题：对于一个给定的$(n, k)$，什么是最小的矢量长度或子分组因子$\ell$需要实现这个最佳的分数？对于低冗余MDS码中的系统盘的\emph{exact recovery}，即$k/n > 1/2$，最公知的显式码\cite{WTB12}具有在$k$中为指数的子分组化因子$\ell$。\cite{TWB12}已经证明，对于固定数目的奇偶校验节点，事实上$\ell$在$k$中是指数的是必要的。本文对给定的$\ell$，给出了$k$的一个新的对数平方逆界，并证明了对于任意个数的奇偶校验节点$r = n-k$，$k \le 2\log_2\ell\left(\log_δ\ell+1\right)$，其中$δ= r/(r-1)$ .
2013-05-15 cs.IT math.IT
The Generalized Random Access Problem for Linear Codes
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；Università degli Studi della Campania “Luigi Vanvitelli”（坎帕尼亚路易吉范维泰利大学）
该研究针对线性码的广义随机接入问题，建立了多符号恢复的参数上下界，推导了系统MDS、单纯形编码器的相关公式，并在三维空间中对比了平衡拟弧与基准值。
2026-08-21 cs.IT math.CO math.IT
