三维排列的区域定理

A Simple Algorithm for Computing the Zone of a Line in an Arrangement of Lines

Let $L$ be a set of $n$ lines in the plane. The zone $Z(\ell)$ of a line $\ell$ in the arrangement $\mathcal{A}(L)$ of $L$ is the set of faces of $\mathcal{A}(L)$ whose closure intersects $\ell$. It is known that the combinatorial size of $Z(\ell)$ is $O(n)$. Given $L$ and $\ell$, computing $Z(\ell)$ is a fundamental problem. Linear-time algorithms exist for computing $Z(\ell)$ if $\mathcal{A}(L)$ has already been built, but building $\mathcal{A}(L)$ takes $O(n^2)$ time. On the other hand, $O(n\log n)$-time algorithms are also known for computing $Z(\ell)$ without relying on $\mathcal{A}(L)$, …

关于凸体边界的带

On the zone of the boundary of a convex body

我们考虑了$n$超平面在$\R^d$中的一种排列$\A$和在这种排列中$\R^d$中任意凸集的边界在$\A$中的区域$\Z$。我们发现，而$\Z$的组合复杂性是已知的只有$O<n^{d-1}\log n>$ \cite{APS}，该区域的外部部分具有复杂性$O<n^{d-1}>$（没有对数因子）。这个界限是否也适用于区域内部的复杂性仍然是一个悬而未决的问题（甚至对于$d=2$也是如此）。

通过 Zone Theorem 改进 Pseudoline Arrangements 数量的界限

Improved Bound on the Number of Pseudoline Arrangements via the Zone Theorem

本文通过结合 Felsner 和 Valtr 的方法与 Zone Theorem，证明了对于足够大的 $n$，$n$ 条 pseudolines 的 simple arrangements 数量的上界改进为 $2^{0.6496n^2}$。

关于直线排列中圆的带

On the zone of a circle in an arrangement of lines

令$\mathcal L$是平面中的一组$n$线，令$C$是平面中的凸曲线，如圆或抛物线。$\mathcal L$中的$C$的“区域”（表示为$\mathcal Z(C,\mathcal L)$）被定义为排列$\mathcal A(\mathcal L)$中由$C$包围的所有小区的集合。Edelsbrunner等人（1992）证明了$\mathcal Z(C,\mathcal L)$的复杂度（边或顶点的总数）至多为$O(nα(n))$，其中$α$是逆阿克曼函数。他们通过将$\mathcal Z(C,\mathcal L)$的边序列翻译成序列$S$来避免子序列$ababa$。$\mathcal Z(C,\mathcal L)$的最坏情况复杂度是否仅为线性是一个长期存在的问题。由于将问题松弛为伪线确实有一个$Θ(nα(n))$界，所以对于直线的情况，$O(n)$的任何证明都必须使用几何参数。在本文中，我们提出了一些这样的几何参数。我们表明，如果$C$是一个圆，那么某些配置的直线段上的端点$C$是不可能的。特别是，我们表明，存在一个Hart-Sharir序列，不能出现作为一个子序列的$S$。Hart-Sharir序列基本上是构造无$ababa$的超线性长度序列的唯一已知方法。因此，如果可以证明超线性长度的无$ababa$序列的每个族最终包含所有Hart-Sharir序列，则可以得出只要$…

通过唯一汇定向和雨伞排列不均等地分割三明治

Splitting Sandwiches Unevenly via Unique Sink Orientations and Rainbow Arrangements

本文通过唯一汇定向和雨伞排列提出了新的方法，证明了 α-汉 Sandwich 定理并推广到定向子模领域。

An extension theorem for signotopes

In 1926, Levi showed that, for every pseudoline arrangement $\mathcal{A}$ and two points in the plane, $\mathcal{A}$ can be extended by a pseudoline which contains the two prescribed points. Later extendability was studied for arrangements of pseudohyperplanes in higher dimensions. While the extendability of an arrangement of proper hyperplanes in $\mathbb{R}^d$ with a hyperplane containing $d$ prescribed points is trivial, Richter-Gebert found an arrangement of pseudoplanes in $\mathbb{R}^3$ which cannot be extended with a pseudoplane containing two particular prescribed points. In this artic…