On the Least counterexample to Robin hypothesis
Xiaolong Wu
令$G(n)=σ(n)/(n \log \log n )$。Robin假设$G(n)<e^γ$对所有整数$n>5040$。如果罗宾假设失败，将有一个最小反例。本文归纳了最少反例应满足的条件。
Let $G(n)=σ(n)/(n \log \log n )$. Robin made hypothesis that $G(n)<e^γ$ for all integer $n>5040$. If Robin hypothesis fails, there will be a least counterexample. This article collects the requirements the least counterexample should satisfy.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Properties of counterexample to Robin hypothesis
令$G(n)=σ(n)/(n \log \log n )$。Robin假设$G(n)<e^γ$对所有整数$n>5040$。若Robin假设存在反例，则一定存在有限个反例$n>5040$，使得$G(n)$达到最大值.本文研究了这类数的各种性质。
On numbers satisfying Robin's inequality, properties of the next counterexample and improved specific bounds
定义$s (n) := n^{- 1} σ(n)$（$σ(n):=\sum_{d|n}d )$和$ω(n)$是$n$的素因子数。$s$的一个属性起着核心作用：如果$p < q$是素数，则为$s (p^a) > s (q^b)$，除了$a, b \geqslant 1$之外，$a, b$上没有特殊条件。这个结果，结合多重置换定理，将帮助我们建立罗宾不等式$s (n) < e^γ \log \log n$的下一个反例（比如$c$）的性质。$c$的数量是过剩的，$ω(c)$必须大于接近10亿的数字。此外，比率$p_{ω(c)} / \log c$具有下限和上限。至多$ω(c)/14$多重性参数大于$1$。最后，我们用简单的方法证明了Robin不等式对不同类型数的适用性。
A better method than t-free for Robin's hypothesis
对于一个正整数t>1，如果整数N的任何素因子的指数小于t，则称整数N是无t的。一些工作表明，如果N是t-free的，则N满足Robin不等式，其中t=5，7，11，16。本文证明了无t的条件可以归结为“N不能被2的t次幂整除”。我证明了如果N不能被2的17次幂整除，那么N满足罗宾不等式。
Riemann's hypothesis via Robin's Theorem
本研究以Robin定理为黎曼假设证明的前提，证明了函数$F={\rm e}^γ\ln(\ln n)-σ(n)/n$的最小值为正，即对所有$n>5040$有$F>0$，为相关数论证明提供关键支撑。
Analogues of the Robin-Lagarias Criteria for the Riemann Hypothesis
罗宾准则指出，黎曼假设等价于对所有整数$n \geq 5041$的$σ(n) < e^γn \log\log n$，其中$σ(n)$是$n$的约数之和，$γ$是欧拉-马斯切罗尼常数。证明了黎曼假设等价于$σ(n) < \frac{e^γ}{2} n \log\log n$对所有奇数$n \geq 3^4 \cdot 5^3 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdots 67$成立的命题.黎曼假设的Lagarias准则指出，黎曼假设对于所有整数$n \geq 1$等价于$σ(n) < H_n + \exp{H_n}\log{H_n}$，其中$H_n$是$n$的次谐波数。我们建立了一个类似的Lagarias的标准的黎曼假设通过创建一个新的谐波系列$H^\prime_n = 2H_n - H_{2n}$和证明黎曼假设是等价的$σ(n) \leq \frac{3n}{\log{n}} + \exp{H^\prime_n}\log{H^\prime_n}$为所有奇数$n \geq 3$。我们证明了更强的类似罗宾不等式奇squarefree数。此外，我们还找到了一个研究$n$的素因子分解及其在Robin不等式中的作用的一般公式。
On Robin's criterion for the Riemann Hypothesis
罗宾准则指出，黎曼假设（RH）是真的，当且仅当罗宾不等式sum_{d|n} d<e^{gamma}n loglog n满足n>=5041，其中gamma表示欧拉（-Mascheroni）常数。我们用初等方法证明了，如果n ≥ 37不满足Robin准则，则它一定是偶数，并且既不是平方自由的，也不是平方满的.使用罗瑟和舍恩菲尔德的界限，我们表明，此外，n必须整除的五次幂>1。因此，我们推断RH成立当且仅当每个可被大于1的五次幂整除的自然数满足罗宾不等式。
A finite arithmetic form of Robin's inequality and its equivalence to the Riemann hypothesis
本文提出Robin不等式的有限截断形式，证明其与Robin不等式及黎曼猜想等价，并给出若干整数类上的无条件证明及反例性质。
Properties of Prime Products and Robin's Inequality
在现代数学中，有许多问题的公式已被证明与黎曼假设等价。在本文中，我们期待在制定的一个不等式由罗宾在1984年，证明了黎曼假设真的当且仅当罗宾的不等式是真的所有$n\geq 5040$。本文研究了素数的显式乘积，证明了如果给定的$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_m^{k_m}$满足Robin不等式，则$n=P_1^{k_1}P_2^{k_2}\ldots P_m^{k_m}$与$p_j \leq P_j$也满足该不等式.然后，我们还提供了两个假设，如果单独证明可能会暗示一些有趣的性质的黎曼假设和罗宾不等式。
Subsets of colossally abundant numbers
令$G(n)=σ(n)/(n \log \log n )$。Robin假设$G(n)<e^γ$对所有整数$n>5040$。本文将所有的广义富足数分成三个互不相交的子集CA 1、CA 2和CA 3，并证明了Robin假设成立的充要条件是所有CA 2数$n>5040$满足Robin不等式.
Ramanujan, Robin, Highly Composite Numbers, and the Riemann Hypothesis
我们提供了一个历史帐户的等价条件的黎曼假设所产生的工作拉马努金，后来，盖伊罗宾对广义高度合数。论文的第一部分介绍了本课题的数学背景。第二部分是关于它的历史，其中包括几个惊喜。
Robin's inequality for 20-free integers
1984年，Robin证明了对$ζ$的黎曼假设等价于对所有$n > 5040$证明了$σ(n) < e^γn \log \log n$。罗宾不等式已经被证明适用于各种无幂整数的无限族：$5$ -free integers，$7$ -free integers和$11$ -free integers。我们将这些结果推广到$20$ -free整数。
Robin's theorem, primes, and a new elementary reformulation of the Riemann Hypothesis
对于n>1，设G（n）=σ（n）/（nloglogn），其中σ（n）是n的约数之和.证明了黎曼假设成立的充要条件是对N的所有素因子p和N的所有倍数aN，4是唯一满足G（N）\ge \max（G（N/p），G（aN））的合数N.证明使用G（n）上的Robin定理和Gronwall定理。另一个一步证明依赖于使用Alaoglu和Erdeglu的结果证明的两个性质。
On the Least Colossally Abundant Exception to Robin's Inequality
该研究针对Robin不等式与黎曼假设的关联问题，通过分析连续巨丰数的素数或半素商，证明若黎曼假设不成立，最小的巨丰反例必被限制在特定区间，排除在更高阈值的无穷集合之外。
An asymptotic Robin inequality
对于整数$n>7!$，证明的Robin不等式是$σ(n)<e^γn \log \log n,$，其中$γ$表示欧拉常数，而$σ(n)=\sum_{d | n} d $。Robin证明了这个猜想等价于黎曼假设（RH）。写作$D(n)=e^γn \log \log n-σ(n),$和$d(n)=\frac{D(n)}{n},$，我们无条件地证明了$\liminf_{n \rightarrow \infty} d(n)=0.$的证明的主要成分是Chebyshev求和函数的估计，以及由于Rosser和Schoenfeld的Mertens第三定理的有效版本。导出了一个仅依赖于$\liminf_{n \rightarrow \infty}D(n)$的相对湿度新判据。
On Robin's inequality
设$σ(n)$表示正整数$n$的因子和函数。罗宾证明了黎曼假设成立的充要条件是不等式$σ(n) < e^γn \log \log n$对每一个正整数$n \geq 5041$成立，其中$γ$是欧拉-马斯切罗尼常数。本文建立了一类新的整数族，使Robin不等式$σ(n) < e^γn \log \log n$成立.进一步，我们建立了因子和函数的一个新的无条件上界。为此目的，我们使用切比雪夫的$\vartheta$ -函数和某些产品定义在素数的近似。
The Nicolas and Robin inequalities with sums of two squares
1984年，G. Robin证明了Riemann假设成立的充要条件是Robin不等式$σ(n)<e^γn\log\log n$对每个整数$n>5040$成立，其中$σ(n)$是约数和函数，$γ$是Euler-Mascheroni常数。我们展示了广泛的一类子集$\cS$的自然数，使罗宾不等式成立，但许多$n\in\cS$。作为一种特殊情况，我们确定了不满足Robin不等式的$n=a^2+b^2$形式的100多个数.事实上，我们用Nicolas不等式$n/ϕ(n)<e^γ\log \log n$证明了我们的断言;由于$σ(n)/n<n/ϕ(n)$对$n>1$，我们对Robin不等式的结果立刻就得到了。
Robin's inequality for new families of integers
罗宾准则指出黎曼假设（RH）为真当且仅当$n > 5040$满足罗宾不等式$σ(n):=\sum_{p|n}p<e^γ n \log \log n$，其中$γ$表示欧拉-马斯切罗尼常数。我们表明，如果2-adic为了n是足够大的比较，奇数的一部分，然后罗宾的不等式是满意的。我们还证明了，如果正整数$n$满足$ν_2(n) \leq 19$，$ν_3(n) \leq 12$，$ν_5(n) \leq 7$，$ν_7(n) \leq 6$，$ν_{11}(n) \leq 5$，则满足Robin不等式，其中$ν_p(n)$是$n$的p-adic阶.最后证明了$σ(n)/n < 1.0000005645 e^γ\log \log n$对$n > 5040$无条件成立.
A Simple Counterexample to Havil's "Reformulation" of the Riemann Hypothesis
这是一个基本的说明。它纠正了在J. Havil的书Gamma：Exploring Euler's Constant中重新表述黎曼假设的错误。
A family of analogues to the Robin criterion
本文基于约数和推广定义了一族函数，并证明了该函数族在特定不等式下与黎曼假设等价，从而获得了 Robin 准则的一族类似物。
A new reason for doubting the Riemann hypothesis
我们使似是而非的存在的反例的黎曼假设位于附近的异常大的峰值的$\vert ζ\vert$。在我们的论点的主要成分是一个身份，其中链接的零的功能$f$定义的间隔$[-a,a]$和价值观的奇数阶导数$\pm a$。
Delicacy of the Riemann hypothesis and certain subsequences of superabundant numbers
罗宾定理是对黎曼假设（RH）的一个巧妙的重新表述。它指出RH为真当且仅当对于所有$n>5040$的$σ(n)<e^γn\log\log n$，其中$σ(n)$是$n$的约数之和，$γ$是欧拉常数。在本文中，我们将展示如何RH是微妙的某些子集的超丰富的号码，即极其丰富的号码和它的一些特定的超集。
Superabundant numbers, their subsequences and the Riemann hypothesis
设σ（n）是正整数n的约数之和。罗宾定理指出，黎曼假设等价于不等式σ（n）<e^γn \log \log n对于所有n>5040（γ是欧拉常数）。这是一个自然的问题，在这个方向上找到第一个整数，如果存在，这违反了这个不等式。在这个过程之后，我们引入了一个新的数列，并称之为极丰富数。本文证明了黎曼假设成立的充要条件是存在无穷多个这样的数。此外，我们还研究了它们的一些性质以及超富足数和泛富足数。
Variations of Kurepa's left factorial hypothesis
Kurepa的假设断言，对于每个整数$n\ge 2$，$!n:=\sum_{k=0}^{n-1}k!$和$n!$的最大公约数是$2$。出于这个假设的一个等价的配方涉及乱序数，在这里，我们给出了一个配方的Kurepa的假设中的整除任何Kurepa的行列式$K_p$的顺序$p-4$由一个总理$p\ge 7$。在本文的前一个版本中，我们提出了强Kurepa假设，涉及一个一般的Kurepa行列式$K_n$与任何整数$n\ge 7$。我们证明了这一假设的“偶数部分”，这可以被认为是Kurepa假设的推广。然而，通过使用涉及无序数$S_{n-1}$与奇数$n\ge 9$的$K_n$的同余，我们发现整数$11563=31\times 373$是强Kurepa假设的"奇数合成部分“的反例。本文还对Kurepa假设中涉及无序数和Bell数的问题给出了一些评论、整除性质和计算结果。
Riemann hypothesis from the Dedekind psi function
设$\mathcal{P}$是所有素数的集合，$ψ(n)=n\prod_{n\in \mathcal{P},p|n}(1+1/p)$是Dedekind psi函数。证明了满足黎曼假设的充要条件是对所有整数$n>n_0=30$（D）都满足$f(n)=ψ(n)/n-e^γ \log \log n <0$，其中$γ\approx 0.577$是欧拉常数.这个不等式等价于罗宾不等式，它是通过用除数函数$σ(n)\ge ψ(n)$和下限由$n_0=5040$的和替换$ψ(n)$从（D）恢复的。对于一个无平方数，两个算术函数$σ$和$ψ$是相同的。我们还证明了对于任意的$m，（D）的任何例外只能发生在满足$ψ(m)/m<ψ(n)/n$的正整数$n$处
Higher-order colossally abundant numbers
本文提出高阶超丰数，通过几何坐标定义嵌套子集，研究其性质及与黎曼猜想和罗宾不等式的关联，给出增长率和整除性结果。
Infinite Families of Counterexamples to a Conjecture of Liu and Qian and a Refined Inverse Theorem for Restricted Sumsets in $\mathbb{Z}_p$
本文针对Liu和Qian关于$\mathbb{Z}_p$中受限和集临界对的猜想，在边界情形给出反例，并在$|A|+|B|\le p-1$假设下证明改进的逆定理。
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