The real layering field of Brownian loop soup and the Gaussian multiplicative chaos
本文研究复平面有界单连通域中布朗环汤的分层场，证明其经重整化后收敛到亚临界高斯乘性混沌，主要技术为维纳-伊藤混沌展开，并计算了$n$点函数及其共形协变性和边界行为。
2025-10-25 math.PR
On Gaussian multiplicative chaos
提出了一种新的高斯乘性混沌（GMC）的定义，并基于亚临界GMC与高斯测度随机移位的关系提出了一种新的方法。利用这个关系，我们证明了一般的唯一性和收敛性的亚临界GMC结果，持有高斯场与任意协方差核。
2016-05-27 math.PR
Synchronization of Differential Equations Driven by Linear Multiplicative Fractional Brownian Motion
本文研究线性乘性分数布朗运动驱动的随机微分方程，证明其唯一平稳解、随机动力系统及单点随机吸引子，并建立耦合方程的同步结果。
2023-12-09 math.PR
Small Deviations for Time-Changed Brownian Motions and Applications to Second-Order Chaos
证明了独立时变下布朗运动的强小偏差结果满足它们自己的渐近准则。然后，我们将这些结果应用到某些随机积分，这是二阶齐次混沌的元素。
2016-11-11 math.PR
On the multiplicative chaos of non-Gaussian log-correlated fields
研究了非高斯对数相关乘性混沌，其中随机场被定义为满足适当矩和正则性条件的独立场之和。收敛性，矩的存在性和解析相对于逆温度证明所产生的混沌在整个亚临界范围。这些结果是高斯乘性混沌相应定理的推广。我们的结果适用的一个基本例子是非高斯傅里叶级数\[\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{k}}(A_k \cos(2πk x) + B_k \sin(2πk x)),\]，其中$A_k$和$B_k$是独立同分布的。随机变量。
2016-06-29 math.PR
Gaussian Multiplicative Chaos revisited
本文推广了Rd中正定函数f（x）= 2 ln+ T |x| + g（x）的乘性混沌理论，其中g是连续的有界函数.该构造比Kahane在1985年定义的构造更简单、更一般。作为主要应用，我们给出了湍流中能量耗散的Kolmogorov-Obukhov模型的严格数学意义。
2008-07-07 math.PR
Universal tail profile of Gaussian multiplicative chaos
本文研究了高斯乘性混沌系统质量的尾概率。与新的使用的Tauberian参数和戈尔迪的隐式更新定理，我们提供了一个统一的方法，以一般的对数相关的高斯字段在任意维，并获得精确的一阶渐近的尾部概率，解决了Rhodes和Vargas的猜想。的领导秩序描述了一个通用的常数，捕捉高斯乘性混沌的一般属性，并可以被看作是在更高的维度的刘维尔单位体积反射系数的模拟。
2019-04-30 math.PR
An elementary approach to Gaussian multiplicative chaos
给出了高斯乘性混沌收敛性的一个完全初等的完备证明。论证进一步表明，在整个亚临界相$(γ< \sqrt{2d})$中，极限随机测度是非平凡的，并且极限是普适的（即，限制措施与基础场的正则化无关）
2017-10-27 math.PR
Planar Brownian motion and Gaussian multiplicative chaos
通过对小圆局部时的平方根取幂，构造了平面布朗运动局部时的高斯乘性混沌测度的模拟。我们还考虑了一个平坦的措施支持的点，其本地时间是在所需的厚度水平的一个常数，并显示两个对象之间的简单关系。我们的研究结果扩展了巴斯，Burdzy和Khoshnevisan，特别是涵盖了整个$L^1$阶段或亚临界制度。这些结果使我们能够获得一个非退化的限制适当重新缩放大小的厚点，从而大大细化估计Dembo，佩雷斯，罗森和Zeitouni。
2019-10-25 math.PR
Subcritical multiplicative chaos and the characteristic polynomial of the C$β$E
本文利用circular beta-ensembles的可积性，证明了其特征多项式与特征值计数函数在整个次临界阶段（含负幂次）的乘性混沌收敛，将近期酉情形的结果推广至任意beta>0。
2024-07-29 math.PR
Inverse of the Gaussian multiplicative chaos: an integration by parts formula
本文在高斯乘性混沌及其逆的框架下研究分部积分公式的对应版本，推广了高斯过程击中时中的相关结果。
2023-07-10 math.PR
Integration and stochastic integration in Gaussian multiplicative chaos
我们表明，对于$γ<\sqrt{4/3}$，它是可能的定义Levy面积的平面布朗运动的刘维测度的不连续性参数$γ$作为底层面积的措施。我们还考虑了光滑曲线的情况，并研究了由此定义的积分映射的一些性质。
2021-05-04 math.PR
High points of a random model of the Riemann-zeta function and Gaussian multiplicative chaos
研究了随机模型中黎曼ζ函数的高点总质量。我们考虑与[8]，[2]中相同的模型，并建立在[14]中证明的收敛到“高斯”乘性混沌的基础上。我们表明，总质量的点，这是一个线性顺序低于最大除以他们的期望几乎肯定收敛到高斯乘性混沌的近似高斯过程倍的随机函数。我们使用二阶矩方法与分支近似建立这种收敛性。
2019-06-21 math.PR
The Fourier coefficients of the holomorphic multiplicative chaos in the limit of large frequency
本文研究全纯乘法混沌的大频率 Fourier 系数，证明归一化后依分布收敛于由 Gaussian 乘法混沌总质量缩放的复正态变量，并推广到连续系数的过程收敛，推出 circular-β-系综次线性特征系数的收敛律。
2025-02-20 math.PR
Absolute continuity of non-Gaussian and Gaussian multiplicative chaos measures
本文研究了非高斯和高斯乘积混沌测度的绝对连续性，通过构造耦合证明两者在几乎处处相互绝对连续。
2025-12-15 math.PR
Tail universality of critical Gaussian multiplicative chaos
本文研究了任意维对数相关高斯场（包括二维高斯自由场）中临界高斯乘性混沌（GMC）质量的尾概率.更准确地说，我们推导出一个完全明确的公式的首阶渐近尾概率和证明了一个新的普遍性现象。我们的分析在这里分享类似的哲学与亚临界的情况下，但需要一个不同的方法，由于类似的本地化步骤的并发症，我们还采用了技术，从最近的研究融合估计GMC理论。
2019-12-05 math.PR
Convergence of processes time-changed by Gaussian multiplicative chaos
本文在$L^2$区域中证明了由高斯乘性混沌进行时间变换的过程的收敛性，并给出Liouville简单随机游走和Liouville $α$-稳定过程的收敛实例。
2024-10-01 math.PR
Pathwise Uniqueness for Multiplicative Young and Rough Differential Equations Driven by Fractional Brownian Motion
该研究证明了任意维度下由赫斯特参数$H\in(1/3,1)$的分数布朗运动驱动的乘性随机微分方程的轨道唯一性，通过结合随机平均估计与改进版随机缝合引理，放宽了波动率系数的赫尔德连续阶数要求，改进了已有经典结果。
2025-06-15 math.PR
Gaussian multiplicative chaos through the lens of the 2D Gaussian free field
这篇评论式的论文的目的是提供一个简洁，独立和统一的介绍高斯乘性混沌（GMC）措施的建设和主要性质的对数相关领域在2D的亚临界制度。通过考虑2D高斯自由场的情况下，我们审查的措施的收敛性，唯一性和特征;重温Kahane的凸性不等式和存在性和缩放的时刻;讨论的可测性的基础领域相对于GMC措施，并提出了一个KPZ关系的缩放指数。
2020-04-29 math.PR
Negative moments for Gaussian multiplicative chaos on fractal sets
研究了具有任意基测度$σ$的亚临界高斯乘性混沌系统总质量小的概率。当$σ$具有关于勒贝格测度的连续密度时，标度参数表明总GMC质量的对数在$-\infty$附近是亚高斯的。然而，当$σ$没有缩放属性时，情况就不那么清楚了。本文证明了对任意基测度$σ$，GMC总质量具有各阶负矩。
2018-05-28 math.PR
The critical 2d Stochastic Heat Flow is not a Gaussian Multiplicative Chaos
本文证明临界二维随机热流不属于高斯乘性混沌类，通过推导其矩的严格下界实现，该下界具有独立意义。
2023-11-16 math.PR
Multifractal analysis of Gaussian multiplicative chaos and applications
设$M_γ$是定义在有界域$D \subset \mathbb{R}^d$，$d \geq 1$上的一般对数相关高斯场的次临界高斯乘性混沌测度.通过证明$M_γ$几乎必然满足多重分形形式主义，我们找到了其奇异谱的一个显式公式，即，证明了它的奇异谱几乎必然等于它的$L^q$ -谱的Legendre-Fenchel变换。然后，应用这个结果，我们计算了多重分形随机游动和刘维布朗运动的下奇异谱。
2023-01-05 math.PR
Limiting laws associated with Brownian motion perturbated by normalized exponential weights I
我们确定了与布朗运动相关的某些乘法泛函的期望Z（t）到时间t的衰减率。这允许证明Wiener测度，由这个乘法泛函惩罚，当t趋于无穷大时收敛到一个概率测度（p. m.）.我们得到了在这个新的p. m.
2005-10-26 math.PR
Hydrodynamic limit and Propagation of Chaos for Brownian Particles reflecting from a Newtonian barrier
在2001年，奈特构建了一个随机过程，模拟两个粒子的一维相互作用，一个是牛顿的，在这个意义上，它服从牛顿的运动定律，另一个粒子是布朗的。我们构建了一个多粒子模拟，使用Skorohod映射估计来证明混沌的传播，并将流体动力学极限描述为具有自由边界条件的偏微分方程的解。利用随机方法证明了该自由边界问题解的存在唯一性，并给出了一种逼近算法。
2020-01-29 math.PR
Trigonometric multiplicative chaos and Application to random distributions
在条件$\sum |ρ_n|^2=\infty$和$ρ_n\to 0$下研究了圆$\mathbb{T}$上的随机三角级数$\sum_{n=1}^\infty ρ_n \cos (nt +ω_n)$，其中$\{ω_n\}$在$\mathbb{T}$上均匀分布.它们几乎肯定不是Fourier-Stieljes级数，而是定义了伪函数。这使我们发展了三角乘性混沌理论，它是部分和的幂运算的极限。它产生一类随机测度。证明了上述级数的部分和的行为是多重分形的。我们的理论在维数$d\ge 1$的环面$\mathbb{T}^d$上成立。
2022-05-19 math.PR
The density of imaginary multiplicative chaos is positive
本文证明了虚乘积混沌的密度在复平面上处处严格正，为高斯空间上其他函数的研究提供了新方法。
2024-10-03 math.PR
Levy multiplicative chaos and star scale invariant random measures
在这篇文章中，我们考虑了著名的Mandelbrot星方程的连续模拟无限可分的重量。曼德尔布罗特引入这个方程来描述乘法级联定律。我们证明了满足上述连续方程的测度的存在唯一性。我们得到一个明确的表征这些措施的结构，这反映了连续设置所施加的限制。特别是，我们表明，连续方程享有一些特定的属性，不出现在离散星方程。为此，我们定义了一个Lévy乘法混沌，推广了现有的结构。
2014-02-26 math.PR
On the regularity of complex multiplicative chaos
用$μ_β="\exp(βX)"$表示在域$U\subset\mathbb{R}^d$上用对数相关高斯场$X$定义的高斯乘性混沌。$β\in\mathbb{R}$的情况已经被非常深入地研究，然后$μ_β$是$U$上的随机测度。对于位于$\mathbb{C}$的某个子域中的复值$β$，也可以定义$μ_β$，从而$μ_β$的实现是$U$上的随机广义函数.本文通过研究$μ_β$的Besov正则性和$β$的一般复值矩的有限性，补充了Junnila等人的结果（其中考虑了纯虚$β$的情况）.
2019-05-28 math.PR
Decoupling and Multipoint moments for the Inverse of the Gaussian multiplicative chaos
本文研究了高斯乘性混沌逆的解耦结构与多点矩，作为扩展随机共形焊接工作至逆Lehto焊接存在性的初步研究，并证明了正实轴上逆同胚的伸缩率属于$L^{1}([0,1]\ imes[0,2])$。
2024-05-31 math.PR
Characterisation of planar Brownian multiplicative chaos
本文通过特征化平面布朗乘法混沌测度，揭示了随机游走厚点集的标度极限，并得出了归一化后厚点数量的收敛性结果。
2022-11-09 math.PR
Critical Gaussian multiplicative chaos: Convergence of the derivative martingale
本文研究了临界情形下的高斯乘性混沌。我们发现，所谓的衍生鞅，介绍了分支布朗运动和分支随机游动的背景下，几乎肯定（在所有维度）收敛到一个随机措施，充分支持。我们还证明了极限测度没有原子。结合导数鞅，我们给出了对数相关高斯势的玻璃相和与对数相关高斯随机变量最大值的渐近展开的关系.
2014-09-02 math.PR
Hölder type estimates for Gaussian multiplicative chaos
本文研究了GMC比率的右尾行为，通过扩展GMC比率类推导出其上界和下界，利用启发式方法证明最优指数。
2025-11-28 math.PR
Bilateral Canonical Cascades: Multiplicative Refinement Paths to Wiener's and Variant Fractional Brownian Limits
对于$t\in (0,1)$，原始密度为1，$b$为整数基数（$b\geq 2$ %），而$p\in (0,1)$为参数。第一构造阶段将单位间隔划分为$b$子间隔，并将每个子间隔中的密度与$\frac{1% }{2}+\frac{p}{2}$和${1/2}-\frac{p}{2}$的相应频率相乘1或-1。结果表明，由此产生的密度可以重整化，使$n\to \infty $（$n$是迭代次数）的签署措施在某种意义上收敛到一个非退化的限制。如果$H=1+\log_{b}$ $p>{1}/{2}$，因此$p>b^{{-1}/{% 2}}$，重整化产生一个鞅，收敛是强的，并且极限共享指数为$H$的分数布朗运动的Hölder和Hausdorff性质。如果$H\leq {1}/{2}$，因此$p\leq b^{{-1}/{2}%}$，则该鞅不收敛。然而，可以应用不同的归一化，对于$H\leq {1/2}$，可以应用于鞅本身，对于$H>% {1/2}$，可以应用于极限和有限近似之间的差异。在所有情况下，所得到的过程被发现弱收敛到维纳布朗运动，独立的$H$和$b$。因此，到通常的加性路径维纳测量，这个过程增加了一个无限的乘法路径。
2007-02-22 math.PR
Critical Gaussian Multiplicative Chaos revisited
我们提出了新的，简短的和自包含的证据收敛（与适当的重整化）的四个不同的序列的临界高斯乘性混沌：（a）的导数鞅（b）临界鞅（c）的指数软化场（d）的次临界高斯乘性混沌。
2022-09-14 math-ph math.MP math.PR
A Theory of Intermittency Differentiation of 1D Infinitely Divisible Multiplicative Chaos Measures
对一般的一维不可分乘性混沌测度，提出了一种非线性微分理论。建立了无限可分场的不变性，并利用不变性导出了极限测度总质量分布的Feynman-Kac方程，该方程考虑了不变性中的随机流.所得方程给出了总质量的一般泛函的不透明度微分规则，并确定了总质量的分布及其一阶不透明度依赖结构.引入了一类扩展总质量的极限测度的非局部泛函，并证明了它们在不变性微分下是不变的，从而使计算总质量分布的完全高温展开在原则上成为可能.在应用中，详细考虑了总质量的正整数矩和协方差结构。
2018-01-03 math.PR
Multiplicative chaos measures for a random model of the Riemann zeta function
证明了Riemann $ζ$函数的幂的随机逼近收敛于一个非高斯乘性混沌测度，并证明了该测度是一个非平凡的多重分形随机测度.结果涵盖了亚临界和临界混沌。一个基本成分的证明是一个'好'的高斯近似的诱导随机场，是潜在的独立利益。
2016-04-28 math.NT math.PR
On universality in penalisation problems with multiplicative weights
我们给出了一个一般的框架的普遍性类的$ σ$ -有限措施的惩罚问题的乘法权重。在我们的框架下讨论了布朗运动、Lévy过程和Langevin过程的惩罚问题。
2021-06-29 math.PR
Gaussian multiplicative Chaos for symmetric isotropic matrices
受各向同性充分发展湍流的启发，我们定义了一个对称矩阵值各向同性高斯乘性混沌理论。我们的构造扩展了J.P.Kahane在1985年提出的标量理论。
2012-11-11 math-ph math.MP math.PR
Multiplicative chaos from random multiplicative functions
Northwestern University（西北大学）；California Institute of Technology（加州理工学院）；Université de Toulouse（图卢兹大学）
本研究从扭曲斯坦豪斯乘性函数的狄利克雷级数构造乘性混沌测度，通过新颖部分求和技巧证明其普适性，还证明其与GMC测度几乎必然相互绝对连续，统一扩展了Gorodetsky与Wong的相关结果。
2026-08-17 math.NT math.PR
Free Brownian motion and free convolution semigroups: multiplicative case
我们考虑单位圆上的一对概率测度$μ,ν$使得$Σ_λ(η_ν(z))=z/η_μ(z)$ .本文证明了当我们用$ν\boxtimesλ_t$代替$ν$，用$\mathbb{M}_t(μ)$代替$μ$时，对于任何$t\geq 0$都有相同类型的方程，其中$λ_t$是$\mathbb{C}$的单位圆上正态分布的自由乘法模拟，$\mathbb{M}_t$是Arizmendi和Hasebe定义的映射.这些方程是Belinschi和Nica研究的方程的乘法模拟。为了得到这一结果，我们研究了乘法自由布朗运动和乘法自由卷积半群中从属函数测度的无限可除性。我们使用Raj Rao和Speicher提出的改进的$\mathcal{S}$ -变换来处理$ν$均值为零的情况。相同类型的结果适用于正实数线上的卷积。我们还得到了正态分布的自由乘法模拟的一些正则性性质。
2013-11-24 math.FA math.PR
The uniqueness of the Gaussian multiplicative chaos revisited
我们考虑定义在一般度量测度空间中的高斯乘性混沌测度。得到了一致的结果，验证了不同的高斯场逼近序列导致相同的混沌测度。专门针对欧几里得空间，我们的设置涵盖了亚临界混沌和临界混沌，实际上扩展到所有的非原子高斯混沌措施。
2015-09-28 math-ph math.MP math.PR
On small deviations of Gaussian multiplicative chaos with a strictly logarithmic covariance on Euclidean ball
本文证明了在严格对数协方差核的正定性区域内，GMC的小偏差始终为对数正态型，并探讨了其在Laplace变换语境下的显式常数界限与新表示。
2024-06-01 math.PR
Uniqueness of supercritical Gaussian multiplicative chaos
本文研究了超临界高斯乘法混沌测度的唯一性，证明其收敛到非平凡极限，且该极限仅由正则化选择决定。
2025-11-27 math-ph math.MP math.PR
Random analytic functions via Gaussian multiplicative chaos
本研究以高斯乘性测度为Clark测度定义单位圆盘上的随机解析函数$\varphi$，证明其几乎必然为Blaschke乘积，并给出零点密度的精确估计。
2023-06-13 math.CV math.PR
Sharp inequalities involving multiplicative chaos sums
本文通过引理和方法获得通用极值不等式，并证明由乘法系统生成的函数系统收敛。
2022-12-11 math.CA math.PR
Localization of the Gaussian multiplicative chaos in the Wiener space and the stochastic heat equation in strong disorder
我们考虑一个{ \it{Gaussian multiplicative chaos} }（GMC）措施的经典维纳空间驱动的平滑（高斯）时空白噪声。对于$d\geq 3$，在\cite{MSZ16}中示出，对于小的噪声强度，GMC的总质量收敛到严格正的随机变量，而较大的无序强度（即，低温）迫使总质量失去均匀可积性，最终产生消失的极限。受有限维欧氏空间中对数相关高斯场和高斯乘性混沌的强局域化现象（\cite{MRV16,BL18}）以及离散有向聚合物的相关结果（\cite{V07,BC16}）的启发，我们研究了在这种情况下布朗路径在{ \it{renormalized} } GMC测度下的端点分布.我们表明，在低温制度，系统的能量景观冻结，并进入所谓的{ \it{glassy phase} }作为整个质量的Cesàro平均的端点GMC分布停留在几个空间岛屿本地化，迫使端点GMC为{ \it{asymptotically purely atomic} }（\cite{V07}）。我们的证明方法是基于在\cite{MV14}和不动点方法相关的自旋玻璃最近在\cite{BC16}中使用的定向聚合物模型在晶格的上下文中的腔方法引入的双折射不变紧致化。
2019-10-16 math.PR
Strong Convergence of Multiplicative Brownian Motions on the General Linear Group
本文证明了一般线性群上由Driver-Hall-Kemp引入的乘法布朗运动族在维数趋于无穷时，其有限维边缘分布几乎必然强收敛到Hall-Ho引入的自由乘法布朗运动，推广了酉群情形的已有结果。
2025-07-18 math-ph math.MP math.PR
A Theory of Intermittency Renormalization of Gaussian Multiplicative Chaos Measures
对一类广义高斯乘性混沌测度，包括区间和圆上的Bacry测度和Muzy测度，给出了一种广义高斯乘性混沌测度的非线性微分理论.一个精确的，非本地的函数方程推导出的总质量的测度的一般功能的导数相对于双折射率。给出了该测度的形式解，并证明了它是测度总质量中心矩的重整化展开。总质量的Mellin变换的全对数展开是根据相应的对数矩展开计算的。该理论被证明是扩展到依赖结构的措施。作为应用，精确计算了Bacry-Muzy测度在圆上的矩展开式，并证明了Morris积分概率分布再现了总质量的矩和矩展开式的矩，从而推测它是总质量的分布.它是在一般情况下，双折射率扩展捕获的总质量的分布唯一。
2018-01-03 math.PR
Multiplicative chaos and the characteristic polynomial of the CUE: the $L^1$-phase
本文证明了Haar分布的随机酉矩阵的特征多项式的绝对值的适当正幂，当矩阵的大小趋于无穷大时，在正确的归一化条件下，收敛于一个高斯乘性混沌测度.我们证明了这一点，在整个$L^1$ -或亚临界阶段的混沌措施。
2018-06-05 math-ph math.MP math.PR
Bulk/boundary quotients of Gaussian multiplicative chaos measures II: Tail profile of bulk Gaussian multiplicative chaos measures in the exact scale-invariant case
本文研究精确尺度不变核下边界具有均匀奇异性的高斯乘性混沌测度的右尾轮廓，通过将局部化技巧应用于边界上的辅助测度，推广了 Rhodes-Vargas 和 Wong 的平坦背景几何结果，并用体/边界商的变体刻画尾部轮廓系数。
2025-09-22 math-ph math.MP math.PR
Elastic drifted Brownian motions and non-local boundary conditions
我们提供了一个深刻的联系之间的弹性漂移布朗运动和逆回火从属。基于这种联系，我们建立了一个链接之间的乘法泛函和动力学边界条件的非局部方程的时间。事实上，我们表明，乘法功能与弹性布朗运动漂移是等价的乘法功能与回火型分数边界条件。利用这种联系，我们写一些泛函方面的一个简单的（积极的和非减）的过程。在我们看来，这种表示在许多应用中是有用的。
2022-09-22 math.AP math.PR
Gaussian multiplicative chaos and KPZ duality
本文研究了Liouville量子引力中原子高斯乘性混沌的构造和KPZ公式。一方面，我们构造了过渡相以外的参数$γ^2$值（即$γ^2>2d$）所对应的纯原子随机测度，并检验了与亚临界高斯乘性混沌的对偶关系。另一方面，给出了经典KPZ公式和原子高斯乘性混沌的对偶KPZ公式的简化证明。特别是，这个框架允许构建奇异的刘维尔措施，并了解在刘维尔量子引力的对偶关系。
2013-02-25 math-ph math.MP math.PR
Almost sure lower bounds for a model problem for multiplicative chaos in number theory
这项工作的目标是证明一个模拟的哈珀最近的结果几乎必然随机乘性函数的下界，在一个设置，可以被认为是一个简化的功能域模拟。它回答了一个问题提出的工作Soundararajan和扎曼，谁证明了目前的界限相同数量的类比哈珀在随机乘法设置。有了一个更简单的量，我们就可以使证明接近于完备，也许更容易理解。
2022-02-01 math.NT math.PR
Random Hermitian Matrices and Gaussian Multiplicative Chaos
我们证明了当适当的规范化，足够小的权力的随机埃尔米特矩阵，从一个切割规则酉不变系综的特征多项式的绝对值，收敛于法律高斯乘性混沌措施。我们证明了这一点，在所谓的$L^2$阶段的乘法混沌。我们的主要工具是Hankel行列式与Fisher-Hartwig奇点的渐近性。利用Riemann-Hilbert方法，我们证明了一个相当一般的正则酉不变系综的Fisher-Hartwig公式.
2017-09-17 math-ph math.MP math.PR
