CAT(0)-空间等距群的余循环的边界映射与可约性
Boundary maps and reducibility for cocycles into the isometries of CAT(0)-spaces
AI总结：
本文研究离散群在CAT(0)-空间可测场上的等距作用，证明无不变欧几里得子场时延拓到边界存在不变截面，并由此得到极大余循环的有限可约性与无穷维刚性现象。
摘要：
设 Γ 是一个离散可数群，等距作用于某个遍历标准 Borel 概率 Γ-空间 (Ω,μ) 上具有有限伸缩维数的 CAT(0)-空间的可测场 X。如果 X 不承认任何不变的欧几里得子场，我们证明延拓到 Γ-边界的可测场 X̂ 承认一个不变截面。在常值场的情形下，这证明了可测余循环的 Furstenberg 映射的存在性，推广了 Bader、Duchesne 和 Lécureux 的结果。当 Γ<PU(n,1) 是一个无挠格，且 CAT(0)-空间为 X(p,∞) 时，我们证明具有适当边界映射的极大余循环 σ:Γ×Ω→PU(p,∞) 是有限可约的。作为推论，我们证明了 PU(1,∞) 中极大余循环的无穷维刚性现象。
英文摘要：
Let $Γ$ be a discrete countable group acting isometrically on a measurable field $\mathbf{X}$ of CAT(0)-spaces of finite telescopic dimension over some ergodic standard Borel probability $Γ$-space $(Ω,μ)$. If $\mathbf{X}$ does not admit any invariant Euclidean subfield, we prove that the measurable field $\widehat{\mathbf{X}}$ extended to a $Γ$-boundary admits an invariant section. In the case of constant fields this shows the existence of Furstenberg maps for measurable cocycles, extending results by Bader, Duchesne and Lécureux. When $Γ<\mathrm{PU}(n,1)$ is a torsion-free lattice and the CAT(0)-space is $\mathcal{X}(p,\infty)$, we show that a maximal cocycle $σ:Γ\times Ω\rightarrow \mathrm{PU}(p,\infty)$ with a suitable boundary map is finitely reducible. As a consequence, we prove an infinite dimensional rigidity phenomenon for maximal cocycles in $\mathrm{PU}(1,\infty)$.
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