枚举相似类中的部分线性变换
Enumerating partial linear transformations in a similarity class
AI总结：
该研究针对有限域上有限维向量空间的子空间上的线性映射，给出了其相似类中线性映射数量的显式公式，推广了Philip Hall关于全空间线性变换（即方阵）共轭类计数的定理。
摘要：
设$V$是有限域${\mathbb F}_q$上的有限维向量空间，且$W$和$\widetilde{W}$是$V$的子空间。若存在线性同构$S:V\to V$满足$SW=\widetilde{W}$且$S\circ T=\widetilde{T}\circ S$，则称两个线性变换$T:W\to V$与$\widetilde{T}:\widetilde{W}\to V$相似。给定定义在$V$的子空间$W$上的线性映射$T$，我们给出了与$T$相似的线性映射数量的显式公式。我们的结果推广了Philip Hall的一个定理，该定理解决了$W=V$的情形，此时上述问题等价于计数${\mathbb F}_q$上一个共轭类中方阵的数量。
英文摘要：
Let $V$ be a finite-dimensional vector space over the finite field ${\mathbb F}_q$ and suppose $W$ and $\widetilde{W}$ are subspaces of $V$. Two linear transformations $T:W\to V$ and $\widetilde{T}:\widetilde{W}\to V$ are said to be similar if there exists a linear isomorphism $S:V\to V$ with $SW=\widetilde{W}$ such that $S\circ T=\widetilde{T}\circ S $. Given a linear map $T$ defined on a subspace $W$ of $V$, we give an explicit formula for the number of linear maps that are similar to $T$. Our results extend a theorem of Philip Hall that settles the case $W=V$ where the above problem is equivalent to counting the number of square matrices over ${\mathbb F}_q$ in a conjugacy class.
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