(G,n)-复形的消去律与Swan有限性障碍
Cancellation for $(G,n)$-complexes and the Swan finiteness obstruction
AI总结：
本文利用Swan有限性障碍与投射ZG-模，研究有限(G,n)-复形的消去律何时成立，并给出失败时同伦不同配对数量的下界，同时为Wall的D2问题提供了寻找反例的新思路。
摘要：
在先前的工作中，当G具有周期上同调时，我们将有限(G,n)-复形的同伦型与表示Swan有限性障碍的投射ZG-模联系起来。我们利用这一点来确定对于有限(G,n)-复形X和Y，何时X ∨ S^n ≃ Y ∨ S^n蕴含X ≃ Y，并在该结论不成立时给出同伦不同配对数量的下界。证明涉及构造投射ZG-模作为四元数代数之积中序上局部自由模的提升，其存在性由Eichler质量公式保证。在n=2的情形下，出现了困难，这引出了寻找Wall的D2问题反例的新方法。
英文摘要：
In previous work, we related homotopy types of finite $(G,n)$-complexes when $G$ has periodic cohomology to projective $\mathbb{Z} G$-modules representing the Swan finiteness obstruction. We use this to determine when $X \vee S^n \simeq Y \vee S^n$ implies $X \simeq Y$ for finite $(G,n)$-complexes $X$ and $Y$, and give lower bounds on the number of homotopically distinct pairs when this fails. The proof involves constructing projective $\mathbb{Z} G$-modules as lifts of locally free modules over orders in products of quaternion algebras, whose existence follows from the Eichler mass formula. In the case $n=2$, difficulties arise which lead to a new approach to finding a counterexample to Wall's D2 problem.
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