The spectra of random abelian G-circulant matrices
本文研究了随机阿贝尔G-循环矩阵特征值的渐近性态，即结构与有限阿贝尔群G有关的矩阵，从而自然地推广了循环矩阵与循环群之间的关系.在较弱的条件下，当群G的大小趋于无穷大时，这类随机矩阵的谱测度趋于确定性极限。根据群结构的某些方面，矩阵是否被约束为厄米特矩阵，以及矩阵元素分布的一些细节，极限测度是（复或实）高斯分布或两个高斯分布的混合。
2012-07-03 math.PR
Limiting spectral distribution of Toeplitz and Hankel matrices with dependent entries
本文研究具有相依元素的对称 Toeplitz 和 Hankel 矩阵的极限谱分布，基于矩方法给出了 LSD 矩序列的显式表达式，并推广至反循环和对称循环矩阵。
2023-06-27 math.PR
Bulk behaviour of skew-symmetric patterned random matrices
实对称模式矩阵的极限谱分布（LSD）已经得到了很好的研究。本文研究了斜对称/反对称模式随机矩阵，建立了几种常见矩阵的最小二乘估计。对于反对称Wigner、反对称Toeplitz和反对称循环，最小二乘方差（在虚轴上）与对称情形相同。然而，对于反对称Hankel和反对称逆循环，我们得到了新的LSD。我们还证明了这些矩阵的三角形版本的LSD的存在性。然后，我们通过改变矩阵下三角部分的符号来引入对对称矩阵的相关修改。在这种情况下，修改的Wigner，修改的Hankel和修改的反向循环具有相同的LSD作为其通常的对称对应物，而新的LSD获得修改的Toeplitz和修改的对称循环。
2014-02-15 math.PR
A Class of Long Range Circulant Random Walks on $\mathbb{Z}_q^d$
School of Mathematics, Monash University（莫纳什大学数学学院）；The Institute of Statistical Mathematics（统计科学研究所）
研究在循环群直积 $\mathbb{Z}_q^d$ 上的一类长程随机游走，通过循环矩阵更新步长，分析其结构、转移函数的谱展开，并推广到环面过程，利用多元Krawtchouk多项式得到分组模型的中心极限定理。
2026-07-09 math.PR
Simple Extension of Halász's Result
本文受伯努利分解启发，给出 Halász 反集中结果的简单推广，并应用于随机循环矩阵，得到其奇异概率的上界，且允许元素非同分布。
2026-10-02 math.PR
$XX^T$ Matrices With Independent Entries
令$S=XX^T$为（未缩放的）样本协方差矩阵，其中$X$为具有独立条目的实$p \times n$矩阵。众所周知，如果$X$的项是独立且同分布的（i.i.d.）当有足够的矩和$p/n \to y\neq 0$时，$\frac{1}{n}S$的极限谱分布（LSD）收敛于Mar $\check{\text{c}}$ enko-Pastur定律.这个结果的几个扩展也是已知的。我们证明了$S$的LSD存在的概率或几乎必然的一般结果，特别是，上述结果的许多特殊情况下遵循。同时，从我们的一般结果中也得到了几个新的LSD结果。LSD的时刻非常复杂，但可以通过一组分区来描述。不像i.i.d.条目的情况下，这些分区不一定是非交叉的，但与已知出现在具有独立条目的（广义）Wigner矩阵的LSD中的特殊对称分区有关。我们还调查的LSD的存在性$S_{A}=AA^T$ $A$是$p\times n$对称或以下四个随机矩阵的任何一个的非对称版本：逆循环，循环，Toeplitz和汉克尔。Bose、Gangopadhyay和Sen在2010年研究了上述4种情况下$\frac{1}{n}S_{A}$的LSD，当时条目为i.i.d.。我们证明了在对$A$的一些一般性假设下，$S_{A}$的LSD是存在的，这一结果显著地推广了已有的结果.
2022-05-22 math.PR
On limiting spectral distribution and joint convergence of some patterned random matrices
本文讨论了具有独立元素的逆循环矩阵和对称循环矩阵的极限谱分布和联合收敛性。这些结果已经分别在文章Bose和Sen（2008）\cite{bose_sen_LSD_EJP}以及Bose、Hazra和Saha（2011）\cite{bose_saha_patter_JC_annals}中得到了证明。但本文提供了这些结果的替代证明，这些证明比现有的证明更短。我们的方法主要是基于矩量法。
2022-02-13 math.PR
Norms of Randomized Circulant Matrices
该研究针对非齐次独立元素随机矩阵的算子范数双侧界问题，给出Rademacher矩阵下界并提出相关猜想，验证了随机n×n循环矩阵下猜想在相差log log n因子时成立，且特定假设下可消除该双重对数项。
2022-05-27 math.FA math.PR
Sample covariance matrices and special symmetric partitions
假设$X_p$是具有独立元素的实$p \times n$矩阵，并考虑（未缩放的）样本协方差阵$S_p=X_pX_p^T$。1967年，马琴科-帕斯图定律被发现为样本协方差阵的整体分布的极限。这一结果在几个方向上得到了扩展。在本文中，我们考虑一个扩展，处理现有的几个，以及产生新的结果。我们表明，在适当的假设下的条目的$X_p$，极限谱分布存在的概率或几乎肯定。这些矩由一组分区描述，这些分区超出了对分区和非交叉分区，并且还与特殊的对称分区有关，这些对称分区已知出现在Wigner型矩阵的极限谱分布中。类似的结果也适用于其他模式矩阵，如逆循环矩阵、循环矩阵、Toeplitz矩阵和Hankel矩阵。
2022-01-03 math.PR
Revisiting Toeplitz and Hankel random matrices via $*$-convergence of circulant-type matrices
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）
本文研究了循环型矩阵的*收敛性，证明了对称Toeplitz和Hankel随机矩阵的谱分布收敛到实高斯分布和对称Rayleigh分布，揭示了其极限分布的结构。
2026-09-18 math.PR
Concentration of the empirical spectral distribution of random matrices with dependent entries
研究了元素部分相依的Hermite随机矩阵的谱测度的集中性质。更准确地说，令$X_n$是大小为$n\times n$的厄米特随机矩阵，其可以被分割成大小至多为$d_n=o(n^2)$的独立块。我们证明了在$X_n$元素分布的适当条件下，$X_n$的经验谱测度集中在其均值附近.主要定理是一个最近的结果由肯普和齐默尔曼，其中块的大小增长为$o(\log n)$加强。作为应用，我们将Schenker和Schulz关于一类相依随机矩阵的期望收敛于循环律的结果推广到概率弱收敛.其它应用包括模式化随机矩阵，例如Toeplitz、Hankel或循环类型的矩阵以及在高斯分布的吸引区域中具有重尾项的矩阵。
2018-09-14 math.PR
Time dependent fluctuations of linear eigenvalue statistics of some patterned matrices
本文研究元素为独立 Brown 运动的 RC_n(t) 与 SC_n(t) 矩阵，证明多项式检验函数下其线性特征值统计量的时间相关涨落随 n→∞ 具有过程收敛性。
2020-10-11 math.PR
Asymptotic results for empirical measures of weighted sums of independent random variables
我们证明了如果一个具有一致小元素和近似正交行的矩形矩阵被应用于具有一致有界三阶矩的独立标准化随机变量，则所得部分和的经验CDF以概率1收敛于正态CDF。这意味着经验周期图的几乎必然收敛，循环矩阵和逆循环矩阵的谱的几乎必然收敛，以及由独立随机变量通过独立随机正交矩阵生成的CDF的几乎必然收敛。对于特殊的三角矩阵，用正规逼近和大偏差原理描述了其几乎必然收敛的速度。
2006-07-26 math.PR
Semicircular law with a few independent entries in a random matrix
Ashoka University（阿肖卡大学）；Indian Statistical Institute（印度统计研究所）
本文针对随机矩阵领域的半圆律问题，打破Wigner矩阵需O(n²)个独立随机变量的固有认知，构造出仅含O(n)个独立随机变量、经验谱分布可任意接近半圆律的矩阵。
2026-08-19 math-ph math.MP math.PR
Precise asymptotics for the norm of large random rectangular Toeplitz matrices
该研究分析了独立元素的大型矩形随机Toeplitz和circulant矩阵的谱范数渐近行为，推导了对应极限结果，通过蒙特卡洛实验验证有限样本性能，并在高斯情形下开展高阶渐近分析提出极限分布猜想。
2025-09-04 math.PR
Fluctuations of Eigenvalues for Generalized Patterned Gaussian Random Matrices
本文研究介于 Wigner 模型与 Toeplitz、Hankel、循环等模式化矩阵之间的非齐次高斯随机矩阵，利用组合方法和非渐近理论证明其线性特征值统计量的波动近似高斯。
2024-05-12 math.PR
Convergence of joint moments for independent random patterned matrices
已知独立Wigner矩阵的联合极限分布满足一个非常特殊的渐近独立性，称为自由度。我们研究了其他几个模式化矩阵的联合收敛性，提供了一个框架，以适应其他联合法律。特别地，对称循环图和逆循环图的矩阵极限分别满足经典独立性和半独立性。Toeplitz和Hankel矩阵的矩阵极限似乎不服从任何简单或明确的独立/依赖概念。它们的界限不是独立的、自由的或半独立的。
2012-11-16 math.PR
Joint convergence of several copies of different patterned random matrices
在非交换概率系统中，研究了几个模式矩阵的独立副本的联合收敛性。特别是，联合收敛持有著名的维格纳，Toeplitz，汉克尔，逆循环和对称循环矩阵。我们还研究了极限的一些性质。特别是，我们表明，维格纳的副本变得渐近自由与上述任何其他矩阵的副本。
2012-04-18 math.OA math.PR
Random Toeplitz Matrices: The Condition Number under High Stochastic Dependence
本文研究了随机Toeplitz矩阵的条件数。由于Toeplitz矩阵是一个对角常数矩阵，它的行或列不能是随机独立的。这种情况不允许我们使用经典的策略来分析它的最小奇异值时，所有的元素是随机独立的随机矩阵。利用循环嵌入，可以打破Toeplitz矩阵结构的随机依赖性，将问题归结为随机循环矩阵的极奇异值分析。其中，我们证明了在随机元的矩母函数存在的情况下，$n$维非对称随机循环矩阵的条件数为$κ\left(\mathcal{C}_n\right) = \mbox{O}\left( \frac{1}{\varepsilon} n^{ρ+1/2} \left(\log n\right)^{1/2} \right)$，且概率为$1-\mbox{O}\left((\varepsilon^2 + \varepsilon) n^{-2ρ} + n^{-1/2+\scriptstyle{o}(1)}\right)$，对于任意的$\varepsilon >0$，$ρ\in(0,1/4)$ .此外，如果随机项仅具有二阶矩，则我们具有概率为$1-\mbox{O}\left((\varepsilon^2 + \varepsilon) n^{-2ρ} + \left(\log n\right)^{-1/2}\right)$的$κ\left(\mathcal{C}_n\right) = \mbox{O}\left…
2020-09-28 cs.NA math.NA math.PR
Spectrum of Random Matrices with Exploding Moments
Indian Institute of Technology, Bhubaneswar（印度技术学院布巴内斯瓦尔分校）
研究具有爆炸矩矩阵模型的线性特征值统计的中心极限定理，采用渐近 Wick 公式证明椭圆、中心对称、循环和互相关块矩阵的 CLT。
2026-04-29 math-ph math.MP math.PR
Limiting spectral laws for sparse random circulant matrices
本文研究稀疏随机循环矩阵的极限谱定律，证明其经验谱分布期望弱收敛的充要条件为群元素阶分布弱收敛，且概率收敛等价于阶分布为狄拉克质量，同时给出行列式的高概率渐近形式。
2025-04-18 math.CO math.PR
The Limiting Spectral Measure for Ensembles of Symmetric Block Circulant Matrices
给定一个NxN随机矩阵的集合，一个自然的问题是典型矩阵的经验谱测度是否收敛到N --> oo时的极限谱测度。虽然这已经证明了许多薄模式合奏坐在所有实对称矩阵，往往没有很好的封闭形式的表达的限制措施。此外，目前的定理提供了几个图片的合奏之间的过渡。我们考虑元素为i. i. d. r. v.的对称m-块循环矩阵的系综。这些矩阵具有周期为m的环形对角线。我们把m看作是一个“转盘”，我们可以把它从极限特征值密度为高斯的对称循环矩阵的稀疏集合“转”到极限特征值密度为半圆的所有实对称矩阵。当m趋于无穷大时，极限特征值密度f_m显示出视觉上惊人的收敛到半圆，我们证明了这一点。与大多数模式化矩阵系综的研究不同，本文给出了密度的显式封闭形式表达式。证明了f_m是高斯多项式与2 m-2次多项式的乘积，其公式与m × m高斯酉包络（GUE）的公式相同.证据是由时刻。新的功能，使我们能够获得封闭形式的表达式，是转换的中心组合问题的时刻计算到一个等价的代数拓扑计数问题。最后，我们放弃了m个随机变量是不同的假设，推广了m块循环模式。我们证明了极限谱分布的存在，并确定由独立的元素在一个m周期内的模式，不仅取决于每个元素出现的频率，而且元素的排列方式。
2011-06-29 math-ph math.MP math.PR
Distribution of Eigenvalues of Weighted, Structured Matrix Ensembles
N × N随机矩阵特征值的极限分布有许多应用。研究最多的系综之一是实对称矩阵与独立的条目iidrv的限制重标度谱测度（LRSM）$\widetildeμ$是半圆。研究已经确定了许多结构化系综的最小二乘估计，如Toeplitz矩阵和循环矩阵。它们有非常不同的行为;两者的LRSM都有无界支持。给定一个结构化系综，使得（i）每个随机变量在每行中出现o（N）次，以及（ii）LRSM存在，我们引入一个参数来连续地在这些行为之间插值。我们在[1/2，1]中固定一个p，并通过将矩阵的第（i，j）和第（j，i）项乘以{1，-1}中随机选择的n_ij来研究有符号结构矩阵的集合，其中Prob（n_ij = 1）= p（即，Hadamard产品）。当p = 1/2时，证明了极限符号重标谱测度是半圆.对于所有其他p，极限测度有界（分别为，无界）支持，如果$\widetildeμ$具有有界（相应地，无界）支持，并且当p -> 1时收敛到$\widetildeμ$。值得注意的是，这些结果适用于Toeplitz和循环矩阵合奏。证明采用矩量法。该分析涉及圆上2k个顶点的配对。在有符号的情况下，每一个的贡献由取决于p和至少一个交叉中所涉及的顶点的数量的因子加权。这些数字出现在组合学和纽结理论中。交叉中没有顶点的构形的数目已经被很好地研究过了，它们是卡塔兰数。我们证明了类似的公式的配置与多达10个顶点在至少一个交叉。…
2012-12-23 math.PR
The condition number of a random banded Toeplitz matrix is typically large
本文研究了带状Toeplitz矩阵的条件数，发现带宽对称性决定其条件数好坏。
2026-02-13 cs.NA math.FA math.NA
Smallest singular value and limit eigenvalue distribution of a class of non-Hermitian random matrices with statistical application
假设$X$是一个$N \times n$复矩阵，其元素是具有方差$1/n$的中心、独立和同分布的随机变量，其四阶矩为${\mathcal O}(n^{-2})$。本文的第一部分考虑了非厄米特矩阵$X A X^* - z$，其中$A$是一个最小和最大奇异值分别有上下界的确定性矩阵，$z\neq 0$是一个复数。在$N$和$n$以相同的速率发散到无穷大的高维区域中，得到了该模型最小奇异值的渐近概率界。在本文的第二部分中，我们考虑了$A = J = [1_{i-j = 1\mod n} ]$是循环矩阵的特殊情况。利用第一部分的结果，证明了$X J X^*$的极限本征值分布在高维区域中的存在性，并明确地确定了这一极限。这一结果的统计应用被认为是致力于测试在一个多变量的时间序列的相关性的存在。假设$X$表示在长度为$n$的时间窗口上观察到的${\mathbb C}^N$值时间序列，则矩阵$X J X^*$表示该时间序列的一步样本自协方差矩阵。在此矩阵极限谱测度结果的指导下，引入了时间序列MA相关模型的白度检验。数值模拟结果表明，该测试的优异性能。
2019-09-27 math.PR
Sparse matrices: convergence of the characteristic polynomial seen from infinity
证明了具有iid $\mathrm{Bernoulli}(d/n)$元素的随机$n \times n$矩阵$A_n$的逆特征多项式$\det(I_n - zA_n)$按分布收敛于随机无穷乘积$\prod_{\ell = 1}^\infty(1-z^\ell)^{Y_\ell}$，其中$Y_\ell$是独立的$\mathrm{Poisson}(d^\ell/\ell)$.我们表明，这个随机函数是一个泊松模拟更经典的高斯对象，如高斯全纯混沌。作为一个副产品，我们得到了新的简单的证明以前的结果的渐近行为的稀疏Erdens-Rényi有向图：对于每一个$d>1$，最大的特征值的$A_n$是接近$d$和第二个最大的是小于$\sqrt{d}$，一个拉马努金性质的不规则有向图。对于$d<1$，$A_n$的唯一非零特征值收敛于单位圆上的Poisson多点过程。我们的结果也扩展到半稀疏制度，其中$d$被允许增长到$\infty$与$n$，比$n^{o(1)}$慢。我们发现，反向特征多项式收敛到一个更经典的对象写在对数相关的实高斯场的指数，在最近的论文\cite{bordenave2020convergence}研究的密集的情况下。在半稀疏的制度，$A_n/\sqrt{d_n}$的经验谱分布收敛到圆分布，作为我们的结果的结果，第二个特征值坚持圆的边缘。
2021-06-22 math.PR
Extreme eigenvalues and eigenvectors for finite rank additive deformations of non-hermitian sparse random matrices
CNRS, LIGM (UMR 8049), Université Gustave Eiffel, ESIEE Paris（法国国家科学研究中心，信息学与机器学习实验室（联合研究单位8049），古斯塔夫·埃菲尔大学，巴黎ESIEE工程学院）；Yale University（耶鲁大学）
研究非对称稀疏随机矩阵在有限秩加性变形下的极值特征值和特征向量行为，证明其与变形矩阵的特征值渐近一致，并揭示了秩一变形下的投影行为与厄密情况相同。
2026-02-24 math.PR math.ST stat.TH
