源自镜像对称的纽结范畴化，第一部分：凝聚层
Knot Categorification from Mirror Symmetry, Part I: Coherent Sheaves
AI总结：
本文提出两种几何方法对任意紧单李群相关的链环量子不变量进行范畴化，第一部分基于奇异单极子模空间的等变凝聚层导出范畴，并通过镜像对称性与第二部分方法相联系。
摘要：
我们推导了两种几何方法，用于对与任意紧单李群 $^L{G}$ 相关的链环量子不变量进行范畴化。在第一部分中，我们描述了第一种方法，该方法基于奇异 $G$-单极子的模空间 ${\cal X}$ 上的等变凝聚层导出范畴，其中 $G$ 与 $^LG$ 通过 Langlands 对偶性相关联。在第二部分中，我们描述了第二种方法，它基于带有势 $W$ 的 Calabi-Yau $Y$ 的 Fukaya-Seidel 范畴的导出范畴。这两种方法通过一种版本的镜像对称性相关联，这在整个研究中起着至关重要的作用。在第三部分中，我们解释了这些结果的弦理论起源，以及与 Witten 所提出方法的关系。
英文摘要：
We derive two geometric approaches to categorification of quantum invariants of links associated to an arbitrary compact simple Lie group $^L{G}$. In part I, we describe the first approach, based on an equivariant derived category of coherent sheaves on ${\cal X}$, the moduli space of singular $G$-monopoles, where $G$ is related to $^LG$ by Langlands duality. In part II, we describe the second approach, based on the derived category of a Fukaya-Seidel category of a Calabi-Yau $Y$ with potential $W$. The two approaches are related by a version of mirror symmetry, which plays a crucial role in the story. In part III, we explain the string theory origin of these results, and the relation to an approach due to Witten.
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