Randomized Reduced Basis Methods for Parameterized Fractional Elliptic PDEs
本文针对参数化分数阶椭圆型PDEs的重复模拟，提出一种结合Kato积分公式、MPGMRES-Sh求解器和随机化快照压缩的高效降阶基方法，兼顾计算与内存效率。
2023-06-29 cs.NA math.NA
Physics-aware registration based auto-encoder for convection dominated PDEs
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
我们设计了一个物理感知的自动编码器，专门减少对流主导的非线性物理系统的解决方案的维数。虽然现有的非线性流形学习方法似乎是降低以大Kolmogorov n宽度为特征的数据的维数的令人信服的工具，但它们通常缺乏从潜在空间到高维物理空间的直接映射。此外，已实现的潜在变量往往很难解释。因此，这些方法中的许多方法在由偏微分方程（PDE）控制的动力系统的降阶建模中经常被忽略。因此，我们提出了一种自动编码器类型的非线性降维算法。无监督学习问题训练一个同构时空网格，该网格将PDE的输出序列记录在非均匀参数/时变网格上，使得学习网格上映射数据的Kolmogorov n宽度最小化。我们证明了我们的方法的有效性和可解释性，以分离对流/平流扩散/缩放各种制造和物理系统。
2020-06-28 cs.LG cs.NA math.DS
Meta-MgNet: Meta Multigrid Networks for Solving Parameterized Partial Differential Equations
本文研究了基于深度学习（DL）的参数化偏微分方程（P-PDE）的数值解。P-PDE出现在许多重要的应用领域中，使用传统的数值格式的计算成本可能过高，特别是当参数落入特定范围并且底层PDE需要以高精度求解时。最近，用深度学习解决偏微分方程已成为一个新兴领域。已有的工作表明，基于DL的方法在加快偏微分方程数值解方面具有巨大的潜力。然而，仍然有有限的研究DL方法的P-PDE。如果我们直接将现有的监督学习模型应用于P-PDE，当参数改变时，模型需要不断微调或重新训练。这极大地限制了这些模型在实践中的适用性和实用性。为了解决这个问题，我们提出了一种基于元学习的方法，可以有效地解决P-PDE与广泛的参数，而无需重新训练。我们的主要观察是把训练一个求解器的P-PDE与一组给定的参数作为一个学习任务。然后，训练一个求解器的P-PDE与不同的参数可以被看作是一个多任务学习问题，元学习是最有效的方法之一。这种新的视角可以应用于许多现有的PDE求解器。作为一个例子，我们采用多重网格网络（MgNet）作为基本求解器。为了实现多任务学习，我们在MgNet中引入了一个新的超网络，称为Meta-NN，并将整个网络称为Meta-MgNet。Meta-NN将微分算子和底层P-PDE的右侧作为输入，并为MgNet生成适当的平滑器，这可以显着影响收敛速度。最后，大量的数值实验表明，元MgNet是更有效地解决P-PDE比…
2020-11-01 cs.NA math.NA
A registration method for model order reduction: data compression and geometry reduction
我们提出了一个通用的-即，独立于基本方程-参数化模型降阶的配准方法。给定空间域$Ω\subset \mathbb{R}^d$和与模型参数$μ^1,\ldots, μ^{n_{\rm train}} \in \mathcal{P}$的$n_{\rm train}$值相关联的$\{ u^k \}_{k=1}^{n_{\rm train}}$在$Ω$上的一组快照，该算法返回参数依赖的双射映射$\boldsymbolΦ: Ω\times \mathcal{P} \to \mathbb{R}^d$：该映射被设计为使映射的流形$\{ u_μ \circ \boldsymbolΦ_μ: \, μ\in \mathcal{P} \}$更适合于线性压缩方法。我们应用的注册程序，结合线性压缩方法，设计低维表示的解决方案流形缓慢衰减Kolmogorov $N$宽度，我们也考虑应用程序中的问题参数化几何。我们提出了一个理论结果，以显示的数学严谨的注册程序。我们进一步提出了几个二维问题的数值结果，经验证明我们的建议的有效性。
2019-11-10 cs.NA math.NA
An improved discrete least-squares/reduced-basis method for parameterized elliptic PDEs
Florida State University（佛罗里达州立大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文提出一种改进的离散最小二乘/降阶方法，通过结合降阶方法提升求解随机椭圆PDEs的计算效率，主要贡献是通过弱贪心算法构造降阶解，并利用降阶解代替全有限元解以减少存储和在线计算成本。
2017-11-08 cs.NA math.NA
Local Gevrey regularity and Quasi-Monte Carlo quadrature for PDEs parameterized on non-compact domains
Vietnam National Foundation for Science and Technology Development (NAFOSTED)（越南国家科学技术基金会）；Vietnam Institute for Advanced Study in Mathematics (VIASM)（越南高等数学研究所）；Hausdorff Research Institute for Mathematics（豪斯多夫数学研究所）；University of Oldenburg（奥尔登堡大学）
针对非紧致域上扩散系数具有局部Gevrey正则性的参数化椭圆PDE，证明弱解的局部Gevrey正则性，并基于此建立拟蒙特卡罗求积的收敛率，结合有限元离散误差给出完整误差分析。
2026-08-26 cs.NA math.NA
A certified wavelet-based physics-informed neural network for the solution of parameterized partial differential equations
物理信息神经网络（PINN）经常被用于偏微分方程（PDE）的数值逼近。本文的目标是构建PINNs以及可计算的误差上界，这是特别相关的参数化偏微分方程（PPDE）的模型简化。为此，我们建议使用的自适应小波扩展的损失函数和误差界的残差的扩展系数的加权和。这种方法在这里所示的椭圆PPDE使用标准变分和最佳稳定的超弱制定。数值算例表明，小波误差界具有很好的定量效果。
2022-12-16 cs.NA math.NA
A Superconvergent Ensemble HDG Method for Parameterized Convection Diffusion Equations
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Missouri University of Science and Technology（密苏里科技大学）；University of Delaware（特拉华大学）
本文提出了一种集合混合不可压缩伽辽金方法，用于高效模拟一组参数化对流扩散偏微分方程，该方法在一般多边形域上实现了最优的L²收敛率，并通过元素级后处理获得了超收敛率。
2019-03-10 cs.NA math.NA
Latent Dynamics Graph Convolutional Networks for model order reduction of parameterized time-dependent PDEs
mathLab, Mathematics Area, SISSA, via Bonomea 265, I-34136 Trieste, Italy（SISSA数学实验室）
本文提出LD-GCN，一种数据驱动的编码器-free架构，通过隐式空间建模时间演化，实现降阶动态分析与零样本预测，数学上通过通用逼近定理验证，应用于复杂计算力学问题。
2026-01-16 cs.LG cs.NA math.NA
A reduced basis method for parabolic PDEs based on a space-time least squares formulation
University of Koblenz（科布伦茨大学）
本文提出了一种基于时空最小二乘法的降阶方法，用于求解参数依赖的抛物型PDEs，通过POD-greedy方法结合离线-在线分解，提供误差界认证。
2026-01-29 cs.NA math.NA
Exploiting locality in sparse polynomial approximation of parametric elliptic PDEs and application to parameterized domains
本研究针对椭圆偏微分方程的参数化问题，提出采用局部支撑函数的表示方式，通过逐点界证明泰勒系数的ℓᵖ可和性，应用于参数化域问题可获更高收敛率，且方法可推广至其他类型PDE。
2023-08-11 cs.NA math.AP math.NA
An adaptive reduced basis collocation method based on PCM ANOVA decomposition for anisotropic stochastic PDEs
University of Maryland（马里兰大学）
本文提出一种基于PCM ANOVA分解的自适应降阶校准方法，用于求解高维参数化随机PDEs，通过两阶段适应性策略有效识别有效维度并优化参数空间，验证了该方法在求解各向异性随机对流-扩散方程中的有效性。
2017-09-25 cs.NA math.NA
Explicit cost bounds of stochastic Galerkin approximations for parameterized PDEs with random coefficients
University of Tennessee（田纳西大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文研究了随机伽辽金有限元方法在处理具有随机系数的参数化椭圆偏微分方程时的总体计算复杂度，通过分析耦合的有限元系统和系数非线性程度，得出了显式成本界，并与随机插值有限元方法的最小复杂度进行了比较。
2016-06-22 cs.NA math.NA
Registration-based model reduction in complex two-dimensional geometries
我们提出了一个一般--即，独立于基本方程--参数化模型降阶的配准过程。给定空间域$Ω\subset \mathbb{R}^2$和与参数域$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^P$和参数场$μ\mapsto u_μ \in L^2(Ω)$相关联的流形$\mathcal{M}= \{ u_μ : μ\in \mathcal{P} \}$，我们的方法将一组快照$\{ u^k \}_{k=1}^{n_{\rm train}} \subset \mathcal{M}$作为输入，并返回一个参数依赖的双射映射$Φ: Ω\times \mathcal{P} \to \mathbb{R}^2$：该映射旨在使映射流形$\{ u_μ \circ Φ_μ: \, μ\in \mathcal{P} \}$更适合线性压缩方法。在这项工作中，我们扩展并进一步分析了[Taddei，SISC，2020]中提出的配准方法。本工作的贡献是双重的。首先，我们通过引入一个合适的坐标系变换来处理环形域的方法。其次，我们讨论了一般的二维几何的扩展：为此，我们引入了一个谱元近似，它依赖于分区$\{ Ω_{q} \}_{q=1} ^{N_{\rm dd}}$域$Ω$，使$Ω_1,\ldots,Ω_{N_{\rm dd}}$同构的单位平方。我们进一步表明，我们的谱元近似可以应付参数化几何。我们提出了严格的数…
2021-05-03 cs.NA math.NA
Learning reduced order models from data for hyperbolic PDEs
给定一组双曲型偏微分方程的解快照，我们有兴趣学习一个降阶模型（ROM）。为此，我们提出了一种新的分解然后学习的方法。我们分解的解决方案表示为一个组合的转换解决方案和一个de-transformer。我们的想法是学习这两个对象的ROM，这与解决方案不同，在线性缩减空间中是很好的近似。然后通过重组恢复（未转化的）溶液的ROM。变换后的解是通过将解与对齐空间不连续性的空间变换组合而得到的。此外，解变换器是空间变换的逆变换，并让我们恢复解决方案的ROM。我们考虑一个图像配准技术来计算空间变换，并学习ROM，我们诉诸于动态模式分解（DMD）的方法。几个基准问题证明了我们的方法在代表数据和作为预测工具的有效性。
2021-09-13 cs.NA math.NA
A stochastic collocation approach for parabolic PDEs with random domain deformations
Boston University（波士顿大学）
本文研究了如何通过随机置信法近似依赖于线性抛物型偏微分方程解的量的统计矩，其中几何形状被随机参数化，并通过等价的确定性域和随机系数进行重新映射，推导了随机矩的收敛率并与数值实验进行比较。
2019-05-28 cs.NA math.NA
Reduced-order modeling for parameterized PDEs via implicit neural representations
University of Notre Dame（圣母大学）；Arizona State University（亚利桑那州立大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出一种基于隐式神经表示和参数化神经常微分方程的降阶建模框架，结合超网络与物理信息损失，在二维Burgers方程上实现约千倍加速和约1%相对误差。
2023-11-28 cs.LG cs.NA math-ph
Model reduction of convection-dominated viscous conservation laws using implicit feature tracking and landmark image registration
针对对流主导问题中传统降阶模型受Kolmogorov壁垒限制、精度低且需大量训练数据的问题，提出结合地标配准与径向基函数插值的非线性变换降阶方法，经两个测试案例验证可突破壁垒、提升模型可靠性。
2025-03-21 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Inf-Sup Neural Networks for High Dimensional PDEs
Iowa State University（爱荷华州立大学）
针对高维偏微分方程求解难题，提出基于神经网络框架，将其转化为下确界-上确界优化问题，通过两个网络参数化并经迭代鞍点优化计算，证明理论等价性并推导误差估计，数值实验验证了该方法求解高维PDEs的性能。
2026-07-14 cs.NA math.AP math.NA
Preconditioned pseudo-time continuation for parameterized inverse problems
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）；North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
本文提出一种基于伪时间连续法和自适应准牛顿Hessian预条件器的高效方法，用于解决参数化反问题中的参数变化问题。
2026-01-28 cs.NA math.NA
Analytic regularity and collocation approximation for elliptic PDEs with random domain deformations
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；Ecole Politechnique Federale Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文研究了随机域变形下椭圆型PDE解的统计量近似问题，通过解析延拓和稀疏网格列点法计算均值和标准差，并分析收敛率。
2016-03-28 cs.NA math.NA
Hybrid collocation perturbation for PDEs with random domains
本文提出了一种混合摄动法，用于求解随机域中线性椭圆PDE的统计量，通过稀疏网格随机摄动法处理大变化，通过随机摄动-摄动法处理小变化，并推导了QoI方差的收敛率，显著降低了随机问题的维度。
2017-03-29 cs.NA math.NA
Weak Adversarial Networks for High-dimensional Partial Differential Equations
求解一般的高维偏微分方程（PDE）是数值数学中一个长期存在的挑战。在本文中，我们提出了一种新的方法来解决高维线性和非线性偏微分方程定义在任意域上，利用他们的弱配方。我们将求解偏微分方程的弱解问题转化为一个由弱形式导出的算子范数极小化问题。然后将弱公式中的弱解和检验函数分别参数化为原始网络和对抗网络，交替更新以逼近最优网络参数设置。我们的方法，被称为弱对抗网络（WAN），是快速，稳定，完全无网格，这是特别适合于定义在不规则区域上的高维偏微分方程，其中经典的数值方法基于有限差分和有限元遭受的问题，计算速度慢，不稳定和维数灾难。我们将我们的方法应用于各种高维偏微分方程的测试问题，以证明其良好的性能。
2020-03-24 cs.NA math.NA
Finite Element Eigenfunction Network (FEENet): A Hybrid Framework for Solving PDEs on Complex Geometries
Duke University（杜克大学）
FEENet通过结合有限元方法和谱学习，提供了一种在复杂几何上求解PDEs的高效且准确的混合框架。
2026-01-31 cs.NA math.NA
Non-intrusive reduced-order models for parametric partial differential equations via data-driven operator inference
本研究提出一种结合算子推断框架的参数化时变偏微分方程非侵入式降阶建模方法，嵌入参数结构、通过线性回归学习算子，可快速求解参数化PDE，适用于不确定性量化等场景，并在两类模型上验证了有效性。
2023-03-15 cs.CE cs.NA math.NA
Fixed-budget online adaptive learning for physics-informed neural networks. Towards parameterized problem inference
Universite Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；ENS Paris-Saclay（巴黎萨克雷高等师范学校）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Centre Borelli（博雷利中心）；Michelin（米其林）；CEA（法国原子能和替代能源委员会）；ENSIIE（法国国立计算机及工业技术工程师学院）
针对PINNs配点分布影响性能的问题，提出基于PDE残差局部极值与子域分解的固定预算在线自适应学习方法FBOAL，提升了参数化与非参数化问题的精度和计算效率。
2023-03-06 cs.LG cs.NA math.NA
Nonlinear Model Reduction via an Adaptive Weighting of Snapshots
University of Florida（佛罗里达大学）
本文提出了一种基于自适应降维基的参数化偏微分方程降维方法，通过局部子空间实现更准确的解，结合弦迭代高效求解椭圆型PDE。
2014-09-29 cs.NA math.NA
A New Adaptive Deep Learning based Reduced Order Model for Hybrid-Type Parabolic PDEs: Rigorous Error Analysis and Applications
Institute for Analysis and Numerics, Münster University（明斯特大学分析与数值研究所）
本文提出基于DOD的自适应深度学习降阶模型，用于求解混合型抛物型PDEs，通过严格误差分析提升计算效率，并在催化剂过滤问题中验证其有效性。
2026-04-24 cs.NA math.NA
Learning to Optimize Multigrid PDE Solvers
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Technion, Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
构造偏微分方程的快速数值求解器对于许多科学学科都是至关重要的。求解大规模偏微分方程的一个主要技术是使用多重网格方法。多重网格求解器的核心是延拓矩阵，它与问题的不同尺度之间相关。这个矩阵是强烈的问题依赖性，其最佳结构是至关重要的求解器的效率。然而，在实践中，为新问题设计多重网格算法往往会带来巨大的挑战。在本文中，我们提出了一个学习多重网格求解器的框架。我们的方法学习一个（单一）映射从一个家庭的参数化偏微分方程延长运营商。我们训练一个神经网络一次为整个类的偏微分方程，使用一个有效的和无监督的损失函数。广泛的一类2D扩散问题的实验表明，改进的收敛速度相比，广泛使用的黑盒多重网格计划，这表明我们的方法成功地学习规则，构造延长矩阵。
2019-08-05 cs.LG cs.NA math.NA
A Note on Dimensionality Reduction in Deep Neural Networks using Empirical Interpolation Method
George Mason University（乔治梅森大学）；Imagination Corp.（想象力公司）；Fictional University（虚构大学）
本文提出DNN-EIM算法，利用经验插值方法（EIM）在监督学习中降低训练数据维度，在MNIST和偏微分方程等应用中实现并行训练，显著减少训练时间且不牺牲准确性。
2023-05-16 cs.LG cs.NA math.NA
Space-time metamorphosis
我们研究了图像配准问题。我们使用的框架是变态，我们构建了一个变分欧拉时空设置和构成的注册问题作为一个无限维的优化问题。测地线方程对应于一个系统的平流和连续性方程，并解析求解。建立了一种原始协调有限元法的适定性，并数值研究了其收敛性。这为时空速度场参数化的匹配提供了一个离散的前向算子。我们提出了一个梯度下降法在这个控制变量，并显示了几个有前途的数值结果，这种方法。
2020-05-19 cs.NA math.NA
Friedrichs Learning: Weak Solutions of Partial Differential Equations via Deep Learning
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；University of Florida（佛罗里达大学）；University of Maryland（马里兰大学）
本文提出了一种新的深度学习方法--Friedrichs学习，它可以通过极大极小化公式来学习偏微分方程的弱解，将偏微分方程问题转化为极大极小化最优化问题来识别弱解。“弗里德里希学习”这个名字是为了突出我们的学习策略和弗里德里希关于偏微分方程对称系统的理论之间的密切关系。弱公式中的弱解和测试函数以无网格方式参数化为深度神经网络，其交替更新以分别逼近弱解和最优检验函数的最优解网络。大量的数值结果表明，我们的无网格方法可以提供合理的好的解决方案，以广泛的范围内的定义在规则和不规则的区域在各种尺寸，经典的数值方法，如有限差分法和有限元法可能是繁琐或难以应用的偏微分方程。
2022-12-31 cs.LG cs.NA math.NA
On the latent dimension of deep autoencoders for reduced order modeling of PDEs parametrized by random fields
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
针对随机场参数化PDEs的降阶建模，本文扩展了深度学习降阶模型的理论分析，推导出显式误差界限以指导深度自编码器潜维度的选择，并通过数值实验验证了其对模型性能的显著影响。
2023-10-18 cs.LG cs.NA math.NA
IV-Net: A neural network for elliptic PDEs with random and highly varying coefficients
Oden Institute for Computational Science and Engineering, The University of Texas at Austin（计算科学与工程院，德克萨斯大学奥斯汀分校）；Walker Department of Mechanical Engineering, The University of Texas at Austin（机械工程系，德克萨斯大学奥斯汀分校）
提出一种受V-cycle多重网格求解器启发的神经算子架构IV-Net，用于逼近高对比度空间变系数线性椭圆型偏微分方程的解，在高度异质系数问题上优于POD和现有神经算子，在光滑系数低频振荡Helmholtz问题上与Fourier神经算子性能相当。
2026-05-24 cs.LG cs.NA math.NA
Learning solution operators of PDEs defined on varying domains via MIONet
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）；School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
提出基于MIONet的方法学习定义在变化域上的PDE解算子，扩展其逼近理论至度量空间，以二维泊松方程实验验证，为无网格通用求解器。
2024-03-17 cs.LG cs.NA math.NA
On latent dynamics learning in nonlinear reduced order modeling
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
提出隐动态模型（LDMs）数学框架用于参数化非线性时变偏微分方程降阶建模，推导误差与稳定性估计，分析离散格式影响并探索可学习设置，扩展卷积架构，实验验证其在多查询场景中保持精度的时间连续近似能力。
2024-11-28 cs.LG cs.NA math.NA
Generalized dimension truncation error analysis for high-dimensional numerical integration: lognormal setting and beyond
该研究针对不确定性量化中高维积分的输入随机场维截断误差问题，利用泰勒级数推导了广泛问题类的误差界与收敛速率，适用于非仿射方程、有限元离散PDE等场景，并改进了对数正态扩散椭圆PDE的误差界，经数值验证有效。
2023-12-18 cs.NA math.NA
Localized Reduced Basis Additive Schwarz Methods
缩减基方法通过计算适当选择的快照参数的给定偏微分方程的解来为参数化偏微分方程的解集构建低秩近似空间。局部化缩减基方法通过从空间局部化的较便宜的问题构建全局空间来降低计算这些快照解决方案的离线成本。在在线富集的情况下，这些局部问题在高残差区域中迭代求解，并且对应于区域分解方法中的子域求解。通过引入局部化约化基加性Schwarz方法（LRBAS），我们证明了在线富集的局部化约化基和区域分解方法之间确实存在着密切的联系，LRBAS可以被解释为CG方法的局部自适应多预处理方案.
2021-06-08 cs.NA math.NA
Towards fast weak adversarial training to solve high dimensional parabolic partial differential equations using XNODE-WAN
由于维数灾难的存在，求解高维抛物型偏微分方程一直是一个具有挑战性的问题。最近，在（Y.Zang et al.，2020）通过利用弱解提供了一种灵活且计算高效的方法来解决在任意域上定义的这个问题。WAN将PDE问题重构为生成对抗网络，其中弱解（原始网络）和检验函数（对抗网络）由多层深度神经网络（DNN）参数化。然而，目前尚不清楚DNN是否是抛物型PDE解的最有效模型，因为它们没有考虑时间和空间变量在解中所扮演的根本不同的角色。为了加强差异，我们设计了一种新的所谓的XNODE模型的原始网络，它是建立在神经ODE（NODE）模型与额外的空间依赖性，以纳入先验信息的偏微分方程，并作为一个通用的和有效的近似的解决方案。提出的混合方法（XNODE-WAN），通过将XNODE模型集成在WAN框架内，可以显著提高训练的性能和效率。数值结果表明，我们的方法可以减少训练时间的WAN模型的一小部分。
2021-10-15 cs.NA math.NA
Fully probabilistic deep models for forward and inverse problems in parametric PDEs
University of Cambridge（剑桥大学）；Imperial College London（帝国理工学院）；The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）
本文提出物理驱动的深度隐变量模型PDDLVM，通过概率建模和变分推断同时学习参数化PDE的正问题与反问题映射，训练后无需独立求解即可实时预测，并在多个PDE问题上实现比FEM快三个数量级的加速及不确定性估计。
2023-07-14 cs.LG cs.NA math.NA
Construction of local reduced spaces for Friedrichs' systems via randomized training
本文将局部训练方法扩展至Friedrichs算子，通过证明转移算子及图空间的紧性构造局部降维空间，并在异质扩散场数值实验中验证了方法的有效性。
2024-04-29 cs.NA math.NA
A one-shot overlapping Schwarz method for component-based model reduction: application to nonlinear elasticity
针对参数化非线性椭圆偏微分方程，提出了一种基于重叠子域的参数化模型降阶方法.我们的方法读取作为一个约束优化语句，惩罚跳跃组件的接口受到近似满意的PDE在每个局部子域。此外，该方法依赖于将局部状态分解为端口分量（与内部边界上的解决方案相关联）和在端口处消失的气泡分量：由于气泡分量由相应端口处的解值唯一地确定，因此我们可以将约束优化语句重新转换为无约束语句，这读起来像是一个非线性最小二乘问题，可以使用高斯-牛顿方法来解决。我们提出了深入的数值研究的二维neo-Hookean非线性力学问题，以验证我们的方法，我们进一步讨论了适定性的数学公式和线性强制问题的\emph{a priori}误差分析。
2022-11-21 cs.NA math.NA
Structure-Aware Tensorial Model Reduction
Oden Institute for Computational Engineering and Sciences, University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校奥登计算工程与科学研究所）；Scientific Machine Learning, Center for Computing Research, Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室计算研究中心科学机器学习）
本文提出一种两阶段方法，用于构建参数化偏微分方程的投影降阶模型。通过多线性Tucker因子分解降低维度，快速构建非线性变化的降阶基底，并在结构PDE和稀疏参数采样情况下进行扩展。
2026-06-06 cs.NA math.DS math.NA
Localized model reduction for nonlinear elliptic partial differential equations: localized training, partition of unity, and adaptive enrichment
针对参数化非线性椭圆偏微分方程提出了一种基于分量的参数化模型降阶方法。CB-pMOR被设计用于处理大规模问题，对于这些问题，在合理的时间范围内无法负担全阶解，或者参数的变化引起拓扑变化，从而阻止单片pMOR技术的应用。我们依靠单位分割方法（PUM）设计的全球近似空间从当地减少空间，并在Galerkin投影计算的全球状态估计。我们提出了一种基于过采样的随机数据压缩算法，用于构造组件的约化空间：该方法利用过采样边界上的受控光滑性的随机边界条件。我们进一步提出了一个自适应的基于残差的富集算法，利用全球降阶解决代表性的系统更新本地减少空间。我们证明了线性强制问题的富集过程的指数收敛性，我们进一步提出了一个二维非线性扩散问题的数值结果来说明我们的建议的许多功能，并证明其有效性。
2022-02-20 cs.NA math.NA
Handling geometrical variability in nonlinear reduced order modeling through Continuous Geometry-Aware DL-ROMs
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
提出连续几何感知DL-ROMs，扩展深度学习降阶模型以处理几何变异性，通过空间连续性和几何参数化归纳偏置增强压缩与性能，并经理论分析与多类PDE数值实验验证。
2024-11-08 cs.LG cs.NA math.NA
Shape-informed surrogate models based on signed distance function domain encoding
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；Beihang University（北京航空航天大学）
提出一种基于两个神经网络的无网格代理模型方法，通过符号距离函数自动编码域形状，结合傅里叶特征映射，在任意形状域上高效准确地预测PDE解，无需手动参数提取。
2024-09-19 cs.LG cs.NA math.NA
GD-VAEs: Geometric Dynamic Variational Autoencoders for Learning Nonlinear Dynamics and Dimension Reductions
University of California Santa Barbara（加州大学圣巴巴拉分校）
提出GD-VAEs，结合几何与拓扑信息，利用变分自编码器学习非线性动力学的流形潜空间表示，并在多个物理系统上验证其降维性能。
2025-03-26 cs.LG cs.NA math.DS
