适度相互作用粒子对 Burgers 方程和 Keller-Segel 方程的定量逼近
Quantitative approximation of the Burgers and Keller-Segel equations by moderately interacting particles
AI总结：
本文研究具有奇异核的适度相互作用粒子系统对粘性 Burgers 方程和 Keller-Segel 方程的定量逼近，在非局部可积核条件下分别获得了 $N^{-1/6}$ 和 $N^{-\frac{1}{2(d+1)}}$ 阶的几乎必然收敛速率。
摘要：
本文针对与粘性 Burgers 方程和 Keller-Segel 方程相关的两个具有奇异核的适度相互作用随机粒子系统，获得了收敛速率。本文的主要创新之处在于考虑了一个非局部可积核。具体而言，对于 $\mathbb{R}$ 上的粘性 Burgers 方程，我们在任意时间区间上获得了磨光经验测度在某个 Bessel 空间中几乎必然收敛到 PDE 解的结果，收敛速率为 $N^{-1/6}$ 阶。以相同的速率，真实经验测度在 Wasserstein 距离意义下的收敛也成立，并且在粒子轨迹层面通过与 McKean-Vlasov 粒子的标准耦合也成立。在 $d$ 维环面上的 Keller-Segel 方程情形中，我们获得了磨光经验测度在某个 $L^q$ 空间中几乎必然收敛到 PDE 解的结果，收敛速率为 $N^{-\frac{1}{2(d+1)}}$ 阶。该结果在 PDE 的最大存在时间内成立，且对趋化敏感性参数 $χ$ 的任意取值均成立。
英文摘要：
In this work we obtain rates of convergence for two moderately interacting stochastic particle systems with singular kernels associated to the viscous Burgers and Keller-Segel equations. The main novelty of this work is to consider a non-locally integrable kernel. Namely for the viscous Burgers equation in $\mathbb{R}$, we obtain almost sure convergence of the mollified empirical measure to the solution of the PDE in some Bessel space with a rate of convergence of order $N^{-1/6}$, on any time interval. With the same rate, convergence also holds for the genuine empirical measure in Wasserstein distance, and at the level of the trajectories of the particles with the standard coupling to McKean-Vlasov particles. In the case of the Keller-Segel equation on a $d$-dimensional torus, we obtain almost sure convergence of the mollified empirical measure to the solution of the PDE in some $L^q$ space with a rate of order $N^{-\frac{1}{2(d+1)}}$. The result holds up to the maximal existence time of the PDE, for any value of the chemo-attractant sensitivity $χ$.
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