自由正切定律
The Free Tangent Law
AI总结：
本文研究了正切函数等 Herglotz-Nevanlinna 函数在自由概率中的作用，证明 Carlitz 和 Scoville 的函数描述了自由交换子与反交换子之和的极限分布，其自由累积量由 Euler zigzag 数给出。
摘要：
Nevanlinna-Herglotz 函数在自由概率中研究无限可分分布时发挥着基础作用。本文研究了正切函数（一种基础的 Herglotz-Nevanlinna 函数）及其相关函数在自由概率中的作用。具体而言，我们证明了 Carlitz 和 Scoville 的函数 $$ \ rac{\ an z}{1-x\ an z} $$ 描述了自由交换子和反交换子之和的极限分布，因此自由累积量由 Euler zigzag 数给出。
英文摘要：
Nevanlinna-Herglotz functions play a fundamental role for the study of infinitely divisible distributions in free probability. In the present paper we study the role of the tangent function, which is a fundamental Herglotz-Nevanlinna function and related functions in free probability. To be specific, we show that the function $$ \frac{\tan z}{1-x\tan z} $$ of Carlitz and Scoville describes the limit distribution of sums of free commutators and anticommutators and thus the free cumulants are given by the Euler zigzag numbers.
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