Eisenstein 扩张、连通性与第二消没定理
Eisenstein extension, connectedness and the second vanishing theorem
AI总结：
本文研究了 Eisenstein 扩张下穿孔谱的连通性，将第二消没定理（SVT）推广至完备分歧正则局部环的扩张理想，并证明在此情形下最顶层局部上同调模满足相关猜想。
摘要：
本文首先证明，对于一个分歧正则局部环 $S$（它是非分歧正则局部环 $R$ 的 Eisenstein 扩张），当 $S$ 的理想 $I$ 是由 $R$ 的理想 $J$ 扩张而来时，若 $S/JS$ 的穿孔谱连通，则 $R/J$ 的穿孔谱也连通。利用此结论，我们仅针对扩张理想，将 SVT 的结果推广到了完备分歧正则局部环。如果 $S/JS$ 的穿孔谱不连通，且对于 $J$ 的每个极小素理想 $\p$，$R/\p$ 均是正规的，那么 $R/J$ 的穿孔谱也不连通。在此情形下，我们证明两者的连通分支数量相同。最后，我们证明对于非分歧和分歧正则局部环（针对通过 Eisenstein 扩张得到的扩张理想），最顶层的两个局部上同调模满足 \cite{L-Y} 的猜想 1，尽管该猜想通常并不成立。
英文摘要：
In this paper, at first, we show that for a ramified regular local ring $S$, which is an Eisenstein extension of an unramified regular local ring $R$, when an ideal $I$ of $S$ is extended from an ideal $J$ of $R$, the punctured spectrum of $R/J$ is connected if that of $S/JS$ is connected. Using this, we extend the result of SVT to complete ramified regular local ring only for the extended ideals. If the punctured spectrum of $S/JS$ is disconnected then that of $R/J$ is also disconnected when every minimal primes $\p$ of $J$, $R/\p$ is normal. Under this situation we prove that both of them have the same number of connected components. Finally, we show that for both unramified and ramified regular local rings (for extended ideal via Eisenstein extension), two top-most local cohomology modules satisfy the Conjecture 1 of \cite{L-Y}, although the conjecture is false in general.
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