$\text{GL}(n,q)$ 中幂的生成函数
Generating functions for the powers in $\text{GL}(n,q)$
AI总结：
本文研究有限一般线性群 $\text{GL}(n,q)$ 中第 $M$ 次幂集合的枚举，并在三类数论条件下给出正则、正则半单、半单及全体元素和共轭类的生成函数。
摘要：
考虑整数 $M\geq 2$ 时所有幂构成的集合 $\text{GL}(n,q)^M=\{x^M\mid x\in\text{GL}(n,q)\}$。本文旨在枚举集合 $\text{GL}(n,q)^M$ 中的正则元、正则半单元、半单元以及共轭类，即属于这些类型且为第 $M$ 次幂的元素或类。我们得到了以下生成函数：(i) 当 $(q,M)=1$ 时正则元和正则半单元（及其类）的生成函数；(ii) 当 $M$ 为素数幂且 $(q,M)=1$ 时半单元以及所有元素（及其类）的生成函数；(iii) 当 $M$ 为素数且 $q$ 是 $M$ 的幂时所有类型的生成函数。
英文摘要：
Consider the set of all powers $\text{GL}(n ,q)^M = \{x^M \mid x\in \text{GL}(n, q)\}$ for an integer $M\geq 2$. In this article, we aim to enumerate the regular, regular semisimple and semisimple elements as well as conjugacy classes in the set $\text{GL}(n, q)^M$, i.e., the elements or classes of these kinds which are $M^{th}$ powers. We get the generating functions for (i) regular and regular semisimple elements (and classes) when $(q,M)=1$, (ii) for semisimple elements and all elements (and classes) when $M$ is a prime power and $(q,M)=1$, and (iii) for all kinds when $M$ is a prime and $q$ is a power of $M$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
