Exceptional Hahn and Jacobi orthogonal polynomials
利用Hahn多项式$(h_n^{α,β,N})_n$的Casorati行列式，对每一对正整数有限集的$\F=(F_1,F_2)$，构造了二阶差分算子的本征函数多项式$h_n^{α,β,N;\F}$，$n\in σ_\F$，其中$σ_\F$是某个非负整数集，$σ_\F \varsubsetneq \NN$ .当$N\in \NN$和$α$，$β$，$N$和$\F$满足适当的容许条件时，我们证明了多项式$h_n^{α,β,N;\F}$关于正测度（例外哈恩多项式）也是正交完备的.通过极限传递，将Hahn多项式的Casorati行列式转化为Jacobi多项式的Wronskian型行列式$(P_n^{α,β})_n$ .在适当的条件下，$α$，$β$和$\F$，这些Wronskian型行列式原来是例外的Jacobi多项式。
2015-10-09 math.CA
Note on the Equilibrium Measures of Julia sets of Exceptional Jacobi Polynomials
证明了与标准情形相似，例外雅可比多项式的朱利亚集的平衡测度趋于弱星意义下正交区间的平衡测度.
2020-11-16 math.CA math.DS
Heun's equation, generalized hypergeometric function and exceptional Jacobi polynomial
我们研究Heun的微分方程的情况下，其中一个奇点是明显的。特别地，我们推测了与广义超几何微分方程的关系，并在某些情况下建立了它。我们应用我们的结果例外的雅可比多项式。
2012-01-10 math-ph math.CA math.MP
A Spectral Study of the Second-Order Exceptional $X_1$-Jacobi Differential Expression and a Related Non-classical Jacobi Differential Expression
特殊的$X_{1}$ -Jacobi微分表达式是一个具有有理系数的二阶常微分表达式;它是由Gómez-Ullate，Kamran和Milson在2009年发现的。在他们的工作中，他们表明，有一个序列的多项式本征函数$\left\{\widehat{P} _{n}^{(α,β)}\right\}_{n=1}^{\infty}$称为例外$X_{1}$ -雅可比多项式。不存在例外的0次$X_{1}$ - Jacobi多项式。这些多项式在加权Hilbert空间$L^{2}((-1,1);\widehat{w}_{α,β}),$中形成完全正交集，其中$\widehat{w}_{α,β}$是与经典Jacobi权重相关的正有理权重函数。在其他条件中放置的参数$α$和$β,$，它需要$α,β>0.$在本文中，我们开发的频谱理论，这个表达式在$L^{2}((-1,1);\widehat{w}_{α,β})$。我们还考虑频谱分析的“极端”的非例外情况下，即当$α=0$。在这种情况下，多项式的解决方案是非经典的Jacobi多项式$\left\{ P_{n}^{(-2,β)}\right\} _{n=2}^{\infty}.$我们研究了相应的Jacobi微分表达式在几个希尔伯特空间，包括其自然$L^{2}$设置和一定的Sobolev空间$S$的全序列$\left\{ P_{n}^{(-2,β)}\righ…
2014-04-07 math.CA math.SP
Determinantal Formulas for Exceptional Orthogonal Polynomials
给出了例外$X_m$ -Laguerre多项式族和例外$X_m$ -雅可比多项式族以及例外$X_2$ -Hermite多项式族的行列式公式.该公式类似于范德蒙德行列式，并使用经典正交多项式的零点。
2022-06-25 math.CA
Classification of exceptional Jacobi polynomials
本文为例外 Jacobi 算子和多项式提供了完整分类方案，基于参数取整数值划分六个退化类，通过谱图建立一一对应关系并给出显式构造公式，揭示了完全退化类中存在任意数量连续参数的算子。
2025-05-30 math-ph math.CA math.MP
Asymptotic behaviour of zeros of exceptional Jacobi and Laguerre polynomials
讨论了例外Jacobi多项式和Laguerre多项式的零点在大n时的位置和渐近性质。例外多项式的零点分为两类：位于正交区间内的正则零点和位于正交区间外的例外零点。我们发现，经常零有两个交错的性质：一个是自然的交错连续多项式之间的结果，其Sturm-Liouville字符，而另一个显示交错的异常和经典的多项式之间的零。经典的海涅-梅勒公式的推广提供了例外多项式，它允许导出其正则零点的渐近行为。我们还描述了例外零点的位置和渐近行为，大n收敛到固定值。
2012-04-10 math-ph math.CA math.MP
Exceptional Laguerre and Jacobi polynomials and the corresponding potentials through Darboux-Crum Transformations
简单的推导，提出了四个家庭的无穷多个形状不变的哈密顿相应的例外拉盖尔和雅可比多项式。应用达布-克拉姆变换将径向振子的形状不变哈密顿量和达布-珀施尔-特勒势与大岳-佐佐木势的形状不变势联系起来。Dutta和Roy用这种方法导出了例外Laguerre多项式的两个最低成员。该方法扩展到其充分的一般性和许多其他的分支，包括方面的广义Bochner问题和特殊的正交多项式的双谱性质，进行了讨论。
2010-04-27 hep-th math-ph math.CA
Moment Representations of Exceptional $X_1$ Orthogonal Polynomials
我们得到的$X_1$特殊的正交多项式，通过具有一定的调整矩作为条目的矩阵的行列式的表示。我们直接从达布变换开始，允许一个普遍的观点，而不是依赖于特定的系统（雅可比或拉盖尔多项式类型）。我们包括一个递推公式的调整的时刻，并提供了初始调整的时刻为每个系统。在全文中，我们涉及$X_1$例外正交多项式的各种示例。我们特别关注并提供完整的证明Jacobi和III型Laguerre的情况下，因为它们在文献中不太普遍。最后，我们包括一个初步的讨论，解释了更高的协维设置变得更加复杂。可能性和选择的数量是示例性的，但只是开始，缺乏一个规范的标志。
2016-10-20 math.CA
Zeros of the exceptional Laguerre and Jacobi polynomials
一个有趣的发现，在过去的两年中，在数学物理领域一直是特殊的$X_\ell$拉盖尔和雅可比多项式。不同于著名的经典正交多项式，开始与常数项，这些新的多项式有最低的次数$\ell=1,2,...$，但他们形成完整的集合关于一些正定措施。本文研究了这些新多项式的一个重要方面，即它们的零点随哈密顿量参数变化的行为。
2011-02-28 hep-th math-ph math.CA
Infinite families of (non)-Hermitian Hamiltonians associated with exceptional $X_m$ Jacobi polynomials
通过适当的变量变换，将薛定谔方程转化为最近发现的Jacobi型$X_m$例外正交多项式所满足的二阶微分方程.这有利于推导出无限多个可精确解的Hermitian和非Hermitian三角Scarf势以及有限个Hermitian和无限个非Hermitian PT对称双曲Scarf势。所有这些势的束缚态解都与上述例外正交多项式有关。这些无限家庭的潜力被证明是传统的三角和双曲Scarf潜力的扩展，通过添加一些合理的条款，其特征在于存在经典的Jacobi多项式。这些“合理扩展多项式依赖”的潜力的一个特定的家庭的所有成员具有相同的能谱，并具有平移形状不变的对称性。所得到的非厄米三角Scarf势被证明是准厄米的性质，确保相关的能谱的现实。
2013-03-12 hep-th math-ph math.CA
Connecting Exceptional Orthogonal Polynomials of Different Kind
本文将经典 Jacobi、Laguerre、Hermite 正交多项式间的渐近极限与二次变换推广到同余维的例外正交多项式，建立不同种类 $X_m$ 多项式间的系统联系。
2024-04-08 math-ph math.CA math.MP
Properties of the Exceptional ($X_{\ell}$) Laguerre and Jacobi Polynomials
我们提出了各种结果的性质的四个无限集的例外$X_{\ell}$多项式最近发现的Odake和Sasaki [{ \it物理。B} { \bf 679}（2009），414-417; { \it Phys. Lett. B} { \bf 684}（2010），173-176]。这些$X_{\ell}$多项式是具有$\ell+3$正则奇性及其汇合极限的二阶Fuchsian微分方程的整体解.我们推导出等价的，但更简单的形式的$X_{\ell}$多项式。详细讨论的其他主题是：因式分解的Fuchsian微分算子，形状不变性，向前和向后移位操作，不变的多项式子空间下的Fuchsian微分算子，Gram-Schmidt正交正规化程序，三项递归关系和生成函数的$X_{\ell}$多项式。
2011-11-25 hep-th math-ph math.CA
Asymptotics for Recurrence Coefficients of X1-Jacobi Polynomials and Christoffel Function
通过计算X ~ 1-雅可比多项式的递推系数的渐近性，研究了Christoffel函数的极限。研究了基于修正平均特征多项式零点的归一化计数测度与极限Christoffel函数之间的关系。关于普通正交多项式的相应定理的证明是基于三项递推关系的。主要是特殊的正交多项式至少有五项公式，所以Christoffel-Darboux公式也不成立。这些困难似乎可以用组合的方式来处理。
2019-05-27 math.CA
Another set of infinitely many exceptional (X_{\ell}) Laguerre polynomials
我们提出了一个新的无穷多个形状不变的潜力和相应的例外（X_{\ell}）Laguerre多项式。它们补充了最近导出的两组无限多形状不变的、因而在一维量子力学中精确可解的势以及相应的X_{\ell} Laguerre和Jacobi多项式（Odake和Sasaki，Phys. Lett. B679（2009）414-417）。新的X_{\ell} Laguerre多项式和势通过简单的限制过程从已知的X_{\ell} Jacobi多项式和势获得，而已知的X_{\ell} Laguerre多项式和势以相同的方式从已知的X_{\ell} Jacobi多项式和势的镜像获得。
2009-11-18 hep-th math-ph math.CA
A new recurrence formula for generic exceptional orthogonal polynomials
提出了例外正交多项式的一个新的递推关系，它对类型1、2和3都成立。作为具体例子，给出了Xj-Hermite多项式、Laguerre多项式和雅可比多项式在j = 1，2时的递推关系。
2014-10-01 math-ph math.CA math.MP
The Exceptional (X_{\ell}) (q)-Racah Polynomials
构造了例外Racah多项式和q-Racah多项式。连同本作者在2009年发现的例外Laguerre，Jacobi，Wilson和Askey-Wilson多项式，它们穷尽了单变量的一般例外正交多项式。
2011-02-03 hep-th math-ph math.CA
Biorthogonal Polynomial System Composed of X-Jacobi Polynomials from Different Sequences
本文研究了Jacobi方程的有理达布变换（RDTs），重点讨论了无穷区间两端Dirichlet边界条件下的Sturm-Liouville问题（SLP）[1，inf].为了能够将分析扩展到达布-克拉姆网的有理SL方程（SLEs）下所引用的DBCs多指标正交例外Romanovski-Jacobi（XR-Jacobi）多项式的解决方案，我们只考虑种子功能，代表主Frobenius解决方案（PFS）附近的奇异端点之一。.有三种不同类型的解决方案，没有零内选定的间隔：两个无穷序列形成的PFS附近的下端点和一个有限序列形成的PFS附近的无穷大。证明了以经典的雅可比多项式为种子函数，得到了由正交的X_m-雅可比多项式以相反的幅角构成的双指标流形.作为推论，我们断言，只要X_m-Jacobi多项式的指数受导出的XR-雅可比多项式的指数约束的限制，每个m + n次的X_m-Jacobi多项式在-inf和-1之间恰好有m个例外零点。
2018-01-26 math-ph math.CA math.MP
Exceptional Legendre Polynomials and Confluent Darboux Transformations
特殊正交多项式是一类作为Sturm-Liouville本征值问题的解而出现的正交多项式。他们推广了经典的埃尔米特，拉盖尔，和雅可比多项式的家庭，允许多项式序列，错过了有限数量的“例外”程度。本文利用经典Legendre算子的等谱变形，构造了一种新的多参数例外勒让德多项式。使用合流达布变换和逆散射理论的技术，我们得到一个完全明确的描述的运营商和多项式的问题。该文件的主要新颖之处是新的建设，允许特殊的多项式家庭与任意数量的真实参数。
2021-02-20 math-ph math.CA math.MP
Exceptional Askey-Wilson type polynomials through Darboux-Crum transformations
一个替代推导无限多例外威尔逊和Askey-Wilson多项式，这是介绍了本作者在2009年。Darboux-Crum变换将原始多项式和例外多项式的离散量子力学系统交织在一起，起着重要的作用。许多连续的哈恩多项式都是以同样的方式推导出来的。本方法提供了一个简单的证明，这些系统的形状不变性的例外拉盖尔和雅可比多项式的相应情况下。
2010-06-29 hep-th math-ph math.CA
Two-step Darboux transformations and exceptional Laguerre polynomials
最近发现，Sturm-Liouville正交多项式族是Hermite、Laguerre和Jacobi等经典多项式族的特例。在本文中，我们展示了如何新的家庭例外正交多项式可以通过多步代数达布变换。以经典Laguerre多项式的两步达布变换为例说明了该构造，从而得到了一个新的由两个整数参数索引的正交多项式系统.对于这些参数的特定值，经典的Laguerre和II型$X_\ell$ -Laguerre多项式恢复。
2011-08-21 math-ph math.CA math.MP
A New Class of Exceptional Orthogonal Polynomials: The Type III $X_{m}$-Laguerre Polynomials And The Spectral Analysis of Three Types of Exceptional Laguerre Polynomials
Bochner分类定理（1929）描述了多项式序列$\p_{n}\}_{n=0}^{\infty}$，其中$\text{deg}\,p_{n}=n$同时形成二阶微分算子的本征态的完整集合，并且关于具有所有阶的有限矩的正Borel测度正交。事实上，直到一个复杂的线性变化的变量，只有经典的埃尔米特，拉盖尔，雅可比多项式满足这些条件。在2009年，戈麦斯-尤拉特、卡姆兰和米尔森发现，对于序列$\{p_{n}\}_{n=1}^{\infty}$、$\text{deg}\,p_{n}=n$（没有常数多项式），唯一的这样的序列是例外的$X_{1}$ -拉盖尔和$X_{1}$ -雅可比多项式。随后，发现并研究了其他例外正交多项式$\{p_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}\diagdown A}$（这里$A$是所有$n\in\mathbb{N}_{0}\diagdown A$的非负整数$\mathbb{N}_{0}$和$\text{deg}\,p_{n}=n$的有限子集）。我们称这样的序列为例外$X_{\left\vert A\right\vert}$序列。值得注意的是，迄今为止发现的所有例外序列在其自然希尔伯特空间设置中形成完全正交集。在已知的例外集合中有I型和II型$X_{m}$ -拉盖尔多项式，每个都省略了$m$多项式。我们简要地讨论了这些多项式，并在适当的Hilbert空…
2014-07-15 math-ph math.CA math.MP
Dirac(-Pauli), Fokker-Planck equations and exceptional Laguerre polynomials
一个有趣的发现，在过去的两年中，在数学物理领域一直是特殊的$X_\ell$拉盖尔和雅可比多项式。与著名的以常数项开始的正交多项式不同，这些新多项式具有最低次数$\ell=1,2,...$，但它们关于某个正定测度形成完备集.虽然这些新的$X_\ell$多项式的数学性质值得进一步分析，但看看它们在物理系统中是否起任何作用也很有趣。在本文中，我们指出了一些物理模型中，这些新的多项式出现的本征函数的主要部分。我们考虑的系统包括狄拉克方程的最小和非最小耦合与一些外部场，和福克-普朗克方程。这里提出的系统扩大了迄今为止已知的精确可解物理系统的数量。
2011-08-06 math-ph math.CA math.MP
Recurrence Relations of the Multi-Indexed Orthogonal Polynomials : III
在前一篇文章中，我们给出了Laguerre型、Jacobi型、Wilson型和Askey-Wilson型多指标正交多项式的常系数递推关系的证明。在本文中，我们提出了一个证明的Laguerre和Jacobi的情况。讨论了它们的双谱性质，给出了一种显式求递推关系系数的方法。本文将Gómez-Ullate等人最近提出的双谱方法推广到Laguerre和Jacobi情形，导出了Hermite型例外多项式所满足的递推关系系数的显式表达式。
2016-01-20 hep-th math-ph math.CA
Tensor calculus in spherical coordinates using Jacobi polynomials. Part-I: Mathematical analysis and derivations
University of Sydney（悉尼大学）；Princeton University（普林斯顿大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Bates College（贝茨学院）；University of Colorado（科罗拉多大学）
本文提出了一种在三维球坐标中高效计算标量、向量和张量场的方法，利用旋重量化的球谐函数处理角方向，雅可比多项式处理径向方向，通过正交张量旋转将谱系数置于满足特定正则性条件的独立空间中，从而高效求解偏微分方程。
2018-04-27 astro-ph.IM cs.NA math.CA
