集合系统的膨胀
Set System Blowups
AI总结：
本文证明了对大型集合系统中典型 $k$-元组集合进行“膨胀”的性质，并指出向日葵猜想的彩色版本与原版本答案仅相差一个指数因子。
摘要：
我们证明，给定常数 $k \ge 2$ 和一个由大小至多为 $w$ 的集合组成的大型集合系统 $\mathcal{F}$，来自 $\mathcal{F}$ 的一个典型 $k$-元组集合 $(S_1, \cdots, S_k)$ 可以被“膨胀”：对于每个 $1 \le i \le k$，我们能找到一个包含 $S_i$ 的大型子族 $\mathcal{F}_i$，使得当 $i \neq j$ 时，若 $T_i \in \mathcal{F}_i$ 且 $T_j \in \mathcal{F}_j$，则 $T_i \cap T_j=S_i \cap S_j$。我们还证明，向日葵猜想的彩色版本的答案与原版本相同，仅相差一个指数因子。
英文摘要：
We prove that given a constant $k \ge 2$ and a large set system $\mathcal{F}$ of sets of size at most $w$, a typical $k$-tuple of sets $(S_1, \cdots, S_k)$ from $\mathcal{F}$ can be ``blown up" in the following sense: for each $1 \le i \le k$, we can find a large subfamily $\mathcal{F}_i$ containing $S_i$ so that for $i \neq j$, if $T_i \in \mathcal{F}_i$ and $T_j \in \mathcal{F}_j$ , then $T_i \cap T_j=S_i \cap S_j$. We also show that the answer to the multicolor version of the sunflower conjecture is the same as the answer for the original, up to an exponential factor.
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