Generalized dimension truncation error analysis for high-dimensional numerical integration: lognormal setting and beyond
该研究针对不确定性量化中高维积分的输入随机场维截断误差问题，利用泰勒级数推导了广泛问题类的误差界与收敛速率，适用于非仿射方程、有限元离散PDE等场景，并改进了对数正态扩散椭圆PDE的误差界，经数值验证有效。
2023-12-18 cs.NA math.NA
Efficiently Solving High-Order and Nonlinear ODEs with Rational Fraction Polynomial: the Ratio Net
Dali University（大理大学）；Nancahng University（南长大学）
针对复杂高阶非线性常微分方程求解效率与效果不足的问题，提出受帕德逼近启发的新型神经网络架构ratio net用于构建试函数，实验证明其效率优于多项式及MLP类方法，为微分方程求解提供新方案。
2024-01-31 cs.LG cs.NA math.NA
Regularized Unbalanced Optimal Transport with Pearson Marginal Penalties
Department of Mathematics, Texas A\&M University, College Station, TX 77843, USA（德克萨斯A&M大学数学系）
本文研究了使用神经微分方程近似最优传输方程的基本计算问题，提出了一个新颖的框架用于用神经ODE近似连续域中的不平衡最优传输，通过推广具有皮尔逊发散的离散UOT问题，构造了收敛于真实UOT动态的向量场，推动了计算传输和机器学习的数学基础。
2026-10-27 cs.LG cs.NA math.NA
Quantum-Inspired Tensor Networks for Approximating PDE Flow Maps
Aalborg University（奥尔堡大学）；Texas Tech University（德克萨斯理工大学）；FPT University（FPT 大学）；University of Porto（波尔图大学）
本文提出利用量子启发张量网络近似偏微分方程的流映射，通过矩阵乘积态和矩阵乘积算子实现低秩结构，验证了其在流体动力学方程中的有效性。
2026-02-16 cs.NA math.NA quant-ph
Error estimates of physics-informed neural networks for approximating Boltzmann equation
本文针对PINNs近似全局麦克斯韦分布附近玻尔兹曼方程解的问题开展严格误差分析，解决无界速度域非局部二次项的分析难点，并证明基于微-宏分解神经网络的渐近保持性质。
2025-11-19 cs.NA math.NA
Shooting method for solving two-point boundary value problems in ODEs numerically
本文探讨使用打靶技术数值求解高阶常微分方程两点边值问题，将线性打靶推导为线性代数应用，并用Newton-Kantorovich定理描述非线性打靶，讨论了快速收敛的条件并通过实例验证。
2022-08-28 cs.NA math.NA nlin.PS
Approximating Measures on Function Spaces: Transport and Truncation
University of Toronto（多伦多大学）；University of Washington（华盛顿大学）；Courant Institute School of Mathematics, Computing, and Data Science（库朗数学科学研究所）
本文提出一类通过有限维映射与参考测度关联的函数空间测度，利用块三角传输映射实现低维采样，并给出逼近理论与误差分解，应用于逆问题和生成建模。
2026-09-17 cs.NA math.NA math.PR
Truncation in Average and Worst Case Settings for Special Classes of $\infty$-Variate Functions
本文研究了特殊类∞变量函数的截断误差，提供了在平均和最坏情况下的精确界，适用于希尔伯特空间和霍尔德条件下的函数。
2017-09-07 cs.NA math.NA
Error Inhibiting Schemes for Initial Boundary Value Heat Equation
有限差分（FD）格式在科学和工程中被广泛地用于逼近偏微分方程（PDE）的解。FD方案的误差分析依赖于估计每个时间步长处的截断误差。这种方法通常导致全局误差，其阶数与截断误差的阶数相同。对于经典的FD格式，全局误差确实与截断误差具有相同的阶数。FD格式的一个特殊类别是块有限差分（BFD）格式，其中网格被划分为块。这种格式的结构类似于间断伽辽金（DG）方法的结构，并允许抑制截断误差。近年来，人们致力于设计全局误差收敛快于截断误差的BFD方案。本文详细阐述了arXiv：1711.07926中提出的求解具有周期边界条件的热传导方程的方法。我们将这种方法推广到Dirichlet或Neumann边界条件下热传导方程的BFD格式的设计，其全局误差收敛速度快于截断误差。这种方案此后被称为差错抑制方案。我们提供了一个明确的误差分析，包括证明所提出的计划的稳定性和收敛性。我们用几个数值例子来说明我们的方法，这表明我们的方法相比，标准FD计划的效率。
2021-02-16 cs.NA math.NA
Approximating the Fourier Transform from Non-equispaced Discrete Samples
Chemnitz University of Technology（开姆尼茨工业大学）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
该研究针对函数傅里叶变换的近似问题，采用概率密度逆累积分布函数变换生成的非等距节点采样，推导了确定性误差界，优化密度可恢复等距采样收敛速率并降低预渐近误差，数值实验验证了方法有效性。
2026-08-04 cs.NA math.NA
Numerical Analysis on Neural Network Projected Schemes for Approximating One Dimensional Wasserstein Gradient Flows
本文研究用两层ReLU神经网络投影格式逼近一维Wasserstein梯度流，建立理论保证与截断误差分析，并通过多个数值算例验证算法有效性。
2024-02-26 cs.NA math.NA math.OC
Neural solver for sixth-order ordinary differential equations
本文提出一种基于深度学习前馈神经网络的神经求解器，通过由微分方程和边界条件构成的均方损失函数及拟牛顿优化方法，在低训练轮数下实现了对六阶常微分方程边值问题的高精度逼近。
2025-09-15 cs.NA math.NA
System Identification Through Lipschitz Regularized Deep Neural Networks
Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）；University of Bologna（博洛尼亚大学）
在本文中，我们使用神经网络学习控制方程的数据。具体来说，我们重建的右手边的常微分方程系统$\dot{x}(t) = f(t, x(t))$直接从观察到的均匀时间采样数据使用神经网络。与其他基于神经网络的方法相比，我们增加了一个Lipschitz正则化项，我们的损失函数。在合成示例中，我们凭经验观察到，与非正则化模型相比，这种正则化导致更平滑的近似函数和更好的泛化特性，无论是在轨迹数据还是非轨迹数据上，特别是在存在噪声的情况下。与稀疏回归方法相比，由于神经网络是通用的逼近器，我们不需要任何关于ODE系统的先验知识。由于该模型是以组件方式应用的，因此它可以处理任何维度的系统，使其可用于真实世界的数据。
2020-09-07 cs.LG cs.NA math.DS
Neural Networks for Bayesian Inverse Problems Governed by a Nonlinear ODE
本研究利用神经网络求解FitzHugh--Nagumo模型支配的贝叶斯反问题，通过单次前向评估推断模型参数、噪声参数及后验协方差，实现高效的不确定性量化，验证了其克服非线性与非凸性挑战的能力。
2025-10-16 cs.NA math.NA
Error analysis for empirical risk minimization over clipped ReLU networks in solving linear Kolmogorov partial differential equations
本文针对线性柯尔莫哥洛夫偏微分方程，用截断技术将裁剪ReLU网络ERM的泛化结果推广到多项式增长初始函数，证明其打破维数灾难且适用于Black-Scholes方程与热方程，并建立了相应的逼近误差结果。
2024-06-23 cs.NA math.NA
