关于具有分界线穿越的哈密顿系统扰动的相位变化
On the phase change for perturbations of Hamiltonian systems with separatrix crossing
AI总结：
本文利用二阶平均系统估计分界线附近的平均精度，证明一般扰动下相位变化公式，并证明 Arnold 与 Anosov 的两种捕获概率定义等价。
摘要：
我们研究在未扰动系统分界线附近，单自由度哈密顿系统受到一般（不一定是哈密顿的）扰动时角变量（相位）的演化。为此，我们使用二阶平均系统。我们得到了二阶平均系统在分界线附近的精度估计，并利用这些估计证明了当受扰系统的解接近未扰动系统的分界线时相位变化的公式（当扰动为哈密顿扰动时，此类公式是已知的）。作为该公式的一项应用，我们表明 V.I. Arnold 和 D.V. Anosov 提出的关于穿越分界线后被捕获到不同区域的概率的两种自然定义，会导出相同的概率公式。
英文摘要：
We study the evolution of angular variable (phase) for general (not necessarily Hamiltonian) perturbations of Hamiltonian systems with one degree of freedom near separatrices of the unperturbed system. To this end, we use averaged system of order 2. We obtain estimates for the accuracy of order 2 averaged system near separatrices and use these estimates to prove a formula for the phase change when solutions of the perturbed system approach separatrices of the unperturbed system (such formula is known when the perturbation is Hamiltonian). As an application of this formula, we show that two natural definitions of probability of capture into different domains after separatrix crossing proposed by V.I. Arnold and D.V. Anosov lead to the same formula for this probability.
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