代数 $K$-理论中强 $\mathbb{Z}$-分级环的‘基本定理’
The "fundamental theorem" for the algebraic $K$-theory of strongly $\mathbb{Z}$-graded rings
AI总结：
本文研究了强 $\mathbb{Z}$-分级环的代数 $K$-理论，证明了在经典情况下，Laurent多项式环的 $K$-群可以表示为原环 $L$ 的 $K$-群的直接和，以及某些‘nil’群；并进一步推广了这一结果，涉及与分级结构相关的 $L$-模的移位作用，以及将‘nil’群识别为同调 nilpotent 旋转变换的减少 $K$-理论，并建立了类似 Mayer-Vietoris 和局部化序列的类比。
摘要：
代数 $K$-理论中的‘基本定理’将 Laurent 多项式环 $L[t,t^{-1}]$ 的 $K$-群表示为 $L$ 的 $K$-群的直接和（其中一个副本有度数移位）以及某些‘nil’群。本文证明了这一结果的修改版本可以推广到强 $\mathbb{Z}$-分级环；即，分裂涉及与分级结构相关的 $L$-模的移位作用（在经典情况下这些作用是平凡的）。‘nil’群被识别为同调 nilpotent 旋转变换的减少 $K$-理论，并建立了类似 Mayer-Vietoris 和局部化序列的类比。
英文摘要：
The "fundamental theorem" for algebraic $K$-theory expresses the $K$-groups of a Laurent polynomial ring $L[t,t^{-1}]$ as a direct sum of two copies of the $K$-groups of $L$ (with a degree shift in one copy), and certain "nil" groups of $L$. It is shown here that a modified version of this result generalises to strongly $\mathbb{Z}$-graded rings; rather than the algebraic $K$-groups of $L$, the splitting involves groups related to the shift actions on the category of $L$-modules coming from the graded structure. (These action are trivial in the classical case). The nil groups are identified with the reduced $K$-theory of homotopy nilpotent twisted endomorphisms, and analogues of Mayer-Vietoris and localisation sequences are established.
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