Let R be a commutative ring with $1\neq0$. In this paper, we introduce the concept of weakly 1-absorbing primary ideal which is a generalization of 1-absorbing ideal. A proper ideal $I$ of $R$ is called a weakly 1-absorbing primary ideal if whenever nonunit elements $a,b,c\in R$ and $0\neq abc\in I,$ then $ab\in I$ or $c\in\sqrt{I}$. A number of results concerning weakly 1-absorbing primary ideals and examples of weakly 1-absorbing primary ideals are given. Furthermore, we give the correct version of a result on 1-absorbing ideals of commutative rings.
Graded Weakly $2$-Absorbing Ideals over Non-Commutative Rings
对于交换分次环，分次$2$ -吸收（分次弱$2$ -吸收）理想的概念由Al-Zoubi，Abu-Dawwas和Schneeken（Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics，48（3）（2019），724-731）引入并检验，作为分次素（分次弱素）理想概念的推广。到目前为止，对这些问题的研究主要集中在交换分次环上。另一方面，非交换分次环上的分次素理想已经被Abu-Dawwas，Bataineh和Al-Muanger引入和研究（Vietnam Journal of Mathematics，46（3）（2018），681-692）。作为分次素理想在非交换分次环上的推广，Abu-Dawwas、Shashan和Dagher（WSEAS Transactions on Mathematics，19（2020），232-238）引入并研究了非交换分次环上的分次$2$ -吸收理想的概念。最近，Alshehry和Abu-Dawwas（Communications in Algebra，49（11）（2021），4712-4723）引入并研究了非交换分次环上的分次弱素理想。在非交换分次环中引入并研究了分次弱$2$ -吸收理想作为分次弱素理想的推广，并证明了交换分次环中的许多结果在非交换分次环中也成立.
On the Anderson-Badawi $ω_{R[X]}(I[X])=ω_R(I)$ conjecture
设$R$是单位元不为零的交换环，$n$是正整数. Anderson和Badawi在他们关于$n$ -吸收理想的论文中，定义了交换环$R$的真理想$I$是$R$的$n$ -吸收理想，如果无论何时对于$x_1, \ldots, x_{n+1} \in R$有$x_1 \cdots x_{n+1} \in I$，则存在$x_i$的$n$，其乘积在$I$中，并猜想对于任意环$R$的任何理想$I$有$ω_{R[X]}(I[X])=ω_R(I)$，其中$ω_R(I)= \min \{n\colon\text{$ I $ is an $ n $-absorbing ideal of $ R $}\}$。在本文中，我们使用内容公式技术证明了他们的猜想是正确的，如果下列条件之一成立：环$R$是Prüfer整环.环$R$是高斯环，使得它的加群是无挠的。环$R$的加群是无挠的，$I$是$R$的根理想。
