双重非线性问题中的特征值分岔及其在表面等离子体极化激元中的应用
Eigenvalue Bifurcation in Doubly Nonlinear Problems with an Application to Surface Plasmon Polaritons
AI总结：
本文研究解与特征值参数均非线性的非自伴特征值问题，利用Lyapunov-Schmidt约化证明从简单孤立特征值分岔的结果，并应用于证明PT对称构型中横电表面等离子体极化激元的存在性。
摘要：
我们考虑一类通常在解和特征值参数中均为非线性的非自伴特征值问题（“双重”非线性）。我们利用Lyapunov-Schmidt约化证明了从线性问题的简单孤立特征值出发的分岔结果，并给出了非线性特征值和解的展开式。我们进一步证明，如果线性特征值是实数且非线性问题具有$\mathcal P\mathcal T$-对称性，则分岔出的非线性特征值保持为实数。这些一般性结果随后被应用于表面等离子体极化激元（SPPs）的背景中，即在介电层与金属层之间存在一个或多个界面时非线性Maxwell方程的局域化解。我们得到了在某些$\mathcal P\mathcal T$-对称构型中横电SPPs的存在性。
英文摘要：
We consider a class of generally non-self-adjoint eigenvalue problems which are nonlinear in the solution as well as in the eigenvalue parameter ("doubly" nonlinear). We prove a bifurcation result from simple isolated eigenvalues of the linear problem using a Lyapunov-Schmidt reduction and provide an expansion of both the nonlinear eigenvalue and the solution. We further prove that if the linear eigenvalue is real and the nonlinear problem $\mathcal P\mathcal T$-symmetric, then the bifurcating nonlinear eigenvalue remains real. These general results are then applied in the context of surface plasmon polaritons (SPPs), i.e. localized solutions for the nonlinear Maxwell's equations in the presence of one or more interfaces between dielectric and metal layers. We obtain the existence of transverse electric SPPs in certain $\mathcal P\mathcal T$-symmetric configurations.
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