半代数集上的光滑点
Smooth Points on Semi-algebraic Sets
AI总结：
提出基于计算临界点的简单算法以计算实（半）代数集连通紧致分量中的光滑点，并在解决Kuramoto模型平衡点数量猜想和计算实维数中验证了其高效性。
摘要：
许多确定实代数或半代数集性质的算法依赖于计算光滑点的能力。现有的计算半代数集上光滑点的方法使用符号量词消去工具。在本文中，我们提出了一种简单的算法，基于计算某些精心选择的函数的临界点，该算法保证能在实（半）代数集的每个连通紧致分量中计算出光滑点。我们的技术在原理上直观，在以前困难的例子上表现良好，并且使用现有的数值代数几何软件易于实现。通过解决 $n=4$ 情况下 Kuramoto 模型平衡点数量的一个猜想，展示了我们方法的实际效率。我们还将该方法应用于设计一种计算（半）代数集实维数的高效算法，这是本研究的最初动机。
英文摘要：
Many algorithms for determining properties of real algebraic or semi-algebraic sets rely upon the ability to compute smooth points. Existing methods to compute smooth points on semi-algebraic sets use symbolic quantifier elimination tools. In this paper, we present a simple algorithm based on computing the critical points of some well-chosen function that guarantees the computation of smooth points in each connected compact component of a real (semi)-algebraic set. Our technique is intuitive in principal, performs well on previously difficult examples, and is straightforward to implement using existing numerical algebraic geometry software. The practical efficiency of our approach is demonstrated by solving a conjecture on the number of equilibria of the Kuramoto model for the $n=4$ case. We also apply our method to design an efficient algorithm to compute the real dimension of (semi)-algebraic sets, the original motivation for this research.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
