关于无限阿贝尔半群中的加性基
On additive bases in infinite abelian semigroups
AI总结：
本文研究了无限阿贝尔群和半群中加性基的行为，证明了本质子集数量的有限性与有界性，并利用不变均值估计了基的最大阶 $X_T(h,k)$，将相关理论统一在单一公理框架内。
摘要：
在 Lambert、Plagne 和第三位作者先前工作的基础上，我们研究了加性基在无限阿贝尔群和半群中行为的各个方面。我们证明，对于每个无限阿贝尔群 $T$，任何加性基的本质子集数量是有限的，并且包含在阶至多为 $h$ 的加性基中的、基数为 $k$ 的本质子集的数量，可以仅用 $h$ 和 $k$ 来界定。这些结果扩展了两条定理的适用范围，其中一条归功于 Deschamps 和 Farhi，另一条归功于 Hegyarty，它们原本针对 $\mathbf{N}$。此外，利用不变均值，我们处理了一个经典问题，该问题由 Erdős 和 Graham 发起，随后被 Nash 和 Nathanson 在 $\mathbf{N}$ 的情况下加以推广，即估计包含在阶至多为 $h$ 的加性基中的、余基数为 $k$ 的基所能具有的最大阶 $X_T(h,k)$。在其他结果中，我们证明对于每个整数 $k \ge 1$，都有 $X_T(h,k)=O(h^{2k+1})$。即使在 $k=1$ 的情况下，该结果也是全新的。除了最大阶 $X_T(h,k)$ 之外，我们还研究了典型阶 $S_T(h,k)$。我们的方法实际上适用于更广泛的无限阿贝尔半群类，从而将 $\mathbf{N}$ 中的加性基理论与阿贝尔群中的加性基理论统一在一个单一的公理化框架中。
英文摘要：
Building on previous work by Lambert, Plagne and the third author, we study various aspects of the behavior of additive bases in infinite abelian groups and semigroups. We show that, for every infinite abelian group $T$, the number of essential subsets of any additive basis is finite, and also that the number of essential subsets of cardinality $k$ contained in an additive basis of order at most $h$ can be bounded in terms of $h$ and $k$ alone. These results extend the reach of two theorems, one due to Deschamps and Farhi and the other to Hegarty, bearing upon $\mathbf{N}$. Also, using invariant means, we address a classical problem, initiated by Erdős and Graham and then generalized by Nash and Nathanson both in the case of $\mathbf{N}$, of estimating the maximal order $X_T(h,k)$ that a basis of cocardinality $k$ contained in an additive basis of order at most $h$ can have. Among other results, we prove that $X_T(h,k)=O(h^{2k+1})$ for every integer $k \ge 1$. This result is new even in the case where $k=1$. Besides the maximal order $X_T(h,k)$, the typical order $S_T(h,k)$ is also studied. Our methods actually apply to a wider class of infinite abelian semigroups, thus unifying in a single axiomatic frame the theory of additive bases in $\mathbf{N}$ and in abelian groups.
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