截断多项式环上曲线的无穷小二重对数
Infinitesimal dilogarithm on curves over truncated polynomial rings
AI总结：
本文在截断多项式环上的光滑射影曲线中，利用权3 Bloch复形构造了任意 m<r<2m 情形下的调节子及有理函数不变量，并推广互反定理，以期给出 CH^2(k_m,3) 无穷小部分的完全不变量。
摘要：
设 $C$ 是截断多项式环 $k_m:=k[t]/(t^m)$ 上的光滑射影曲线，其中 $k$ 是特征为 0 的域。利用基于权 3 Bloch 复形的 motivic 上同调群 ${\rm H}^{3}_{\pazocal{M}}(C,\mathbb{Q}(3))$ 的一个候选对象，我们对每个 $m<r<2m$ 构造了到 $k$ 的调节子。通过特殊化这一构造，我们得到 $C$ 上有理函数 $f,$ $g$ 和 $h$ 的一个不变量 $ρ_{m,r}(f \wedge g \wedge h)$。当前工作是我们关于无穷小 Chow 二重对数工作的双重推广：我们将先前的构造层化，因此不局限于有理函数三元组，并且我们对任意 $m<r<2m$ 构造调节子，而不仅仅是对 $m=2$。我们还定义了闭链的调节子，我们期望它能给出 ${\rm CH}^{2}(k_{m},3)$ 的无穷小部分的完全不变量集合。这推广了 Park 的工作，在 Park 的工作中，加法 Chow 闭链，即接近 0 的闭链情形，是在 $r=m+1$ 时处理的。在本文中，我们将互反定理推广到模 $(t^m)$ 相同的闭链对，并且对任意 $m<r<2m$ 成立。我们期望本文的理论能够在带幂零元的环上的 motive 范畴上给出调节子。
英文摘要：
Let $C$ be a smooth and projective curve over the truncated polynomial ring $k_m:=k[t]/(t^m), $ where $k$ is a field of characteristic 0. Using a candidate for the motivic cohomology group ${\rm H}^{3}_{\pazocal{M}}(C,\mathbb{Q}(3))$ based on the Bloch complex of weight 3, we construct regulators to $k$ for every $m<r<2m.$ Specializing this construction, we obtain an invariant $ρ_{m,r}(f \wedge g \wedge h)$ of rational functions $f,$ $g$ and $h$ on $C.$ The current work is a twofold generalization of our work on the infinitesimal Chow dilogarithm: we sheafify the previous construction and therefore do not restrict ourselves to triples of rational functions and we construct the regulator for any $m<r<2m,$ rather than only for $m=2.$ We also define regulators of cycles, which we expect to give a complete set of invariants for the infinitesimal part of ${\rm CH}^{2}(k_{m},3). $ This generalizes Park's work, where the additive Chow cycles, namely the case of cycles close to 0, is handled for $r=m+1.$ In this paper, we generalize the reciprocity theorem to pairs of cycles which are the same modulo $(t^m)$ and for any $m<r<2m.$ We expect the theory of the paper to give regulators on categories of motives over rings with nilpotents.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
