平面树与排列上的 Hopf 代数
Hopf algebras on planar trees and permutations
AI总结：
本文在有根平面树上建立 Hopf 代数结构，并将其推广到多类树与排列，进而给出 Malvenuto–Reutenauer 和 Loday–Ronco Hopf 代数的平面树新刻画。
摘要：
我们赋予有根平面树空间一种 Hopf 代数结构。我们证明，该结构的各种变体可在标号树、$n$–树、递增平面树和排序树的空间上产生 Hopf 代数。这些结构被用于在不同类型的排列上构造 Hopf 代数。特别地，我们通过平面有根树获得了对 Malvenuto–Reutenauer 与 Loday–Ronco 的 Hopf 代数的新刻画。
英文摘要：
We endow the space of rooted planar trees with an structure of Hopf algebra. We prove that variations of such a structure lead to Hopf algebras on the spaces of labelled trees, $n$--trees, increasing planar trees and sorted trees. These structures are used to construct Hopf algebras on different types of permutations. In particular, we obtain new characterizations of the Hopf algebras of Malvenuto--Reutenauer and Loday--Ronco via planar rooted trees.
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